Über nulldimensionale Räume

✍ Scribed by Bernhard Banaschewski

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1955
• Tongue: English
• Weight: 732 KB
• Volume: 13
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19550130302

✦ Synopsis

Die Theorie der p-adischen Zahlenneben vielen anderen Beispielen aus der topologischen Algebraliefert uns Riiume, deren topologische Strukturen durch Aquivalenzrelationen, niimlich Kongruenzen, definiert sind. Dasselbe gilt fur die von A. F. MONNA in [7] in Analogie zu den diskreten Bewertungen eines Zahlkorpers eingefiihrten nichtarchimedischen Metriken und nichtarchimedischen uniformen Strukturen, was allerdings dort unausgesprochen (und daher bei Beweisen unausgenutzt) bleibt. Beachtet man dies jedoch, so kann man nach [7] sagen, daB die Theorie der nulldimensionalen Raume genau der Teil der allgemeinen Topologie ist, cler durch Aquivalenzrelationen beschrieben werden kann. I m folgenden sollen die nulldimensionalen Riiume unter eben diesem Gesichtspunkt betrachtet werden. Dabei werden die Oberlegungen, die sich mit [7] beriihren, erheblich einfacher und durchsichtiger als dort. I m ubrigen wird hier eine universelle nulldimensionale kompakte Hiille CE zu dem betrachteten Raum E definiert (Satz 2), deren Ubereinstimmung mit der ~e c hschen Hiille BE bei normalem E topologisch beschrieben wird (Satz 4). Man gelangt so zu einer funktionalanalytischen Kennzeichnung der normalen E , 8 ) Bei bin&ren Reletionen, also auf $ ( E x E), werden hier Enthaltensein, Bildung von Durchschnitt und Vereinigung mit 5 , A und V bezeichnet. Ferner wird zu Relationen e und u des Produkt eu wie iiblich erkllirt durch: ,,seuy heiBt suz, xoy mit passendem 2". Siehe hierzu etwa [2], Kap. VIII, Abschn. 5. *) Siehe euch [7], Theorem 13.. 6, Siehe auch [7], Th. 1 und 11.