Ein 2-nzetrischer Raum (siehe [I]) ist eine Menge R, in der je drei Punkten a, 6, c stets eine reelle Zahl o ( a , 6, c) zugeordnet ist, die folgende Eigeiischaften besitzt : M , . Zu zwei voneinander verschiedenen Punkten a und b aus R gibt es in R wenigstens einen Punkt c mit ~( u , b, c ) + 0 . M i . Es gilt o ( a , b, c ) = 0 , wenn mindestens zwei der drei Punkte a , b , c gleich sind.
Die uber den
Punktetripeln von R erklarte reelle Funktion o mit den Eigenschaften M I , M i , M 2 und M:, heiBt 2-Metrik oder Tripelmap des 2-metrischen Raurnes. Die 2-metrischen Raume stellen das 2-dimensionale Analogon zu den metrischen Raumen dar. Eine spezielle Klasse 2-metrischer Raume erhalt man durch Ubertragung des Begriffes des linearen normierten Raumes auf den 2-dimensionalen Fall. Man gelangt so zum Begriff des linearen 2-normierten Raumes. Unter einem linearen 2-normierten Raum (siehe [ 2 ] ) verstehen wir einen linearen Raum, in dem jedem Paar von Punkten a , b eine reelle Zahl [la, b I[ mit den folgenden vier Eigenschaften zugeordnet ist : N , . Es gilt IIu, bll = 0 genau dann, wenn die Vektoren a und b linear abhangig sind. N , . Ila, bll = Ilb, 4. N , . IIa, b + CII s 11% bll + lla, CII. N , . ]la, /3 611 = 181 ]la, b]l fur jede reelle Zahl /3. Die uber den Punktepaaren a, b des lirieareii 2-normierten Raumes erklairte reelle Funktion (la, bll mit den Eigenschaften N , bis N , bezeichnen wir als %Norm. Es 1aBt sich zeigen ([2], Satz a), daS uber jedem linearen 2-normierten Raum der Dimension + 1 die mittels der 2-Norm gebildete