I n [7] definierte WHITE den Begriff einer CAucHY-Folge in einem %norrnierten Raum eowie den Begriff eines Z-BAxAcH-Raumes, wobei er allerdings uniforme Strukturen iiber seinem Ausgangsraum nicht berucksichtigte. Jeder 2-normierte Raum gestattet jedoch nach [3], Satz 4, in nmtiirlicher Weise eine Vektortopologie und damit eine uniforme Struktur, durch die bereits ein -nicht immer mit dem WHITEschen ubereinstimmcnder -Begriff der CAUcHu-Folge und des 2-BANAcH-Raumes gegeben ist. Auf den auf diese Weise festgelegten Begriff des 2-BANAcH-Raumes geht dlie vorliegende Arbeit naher ein. Es zeigt sich, da13 jeder stark lokal beschrankte 2-BANAcH-Raum ein Z-BaNAcH-Raurn im Sinne von [ 7 ] und da13 umgekehrt jeder 2-BANACH-Raum im Sinne von [ 7 ] ein stark lokal beschrankter 2-BAxAcH-Raum im hier benutzten Sinne ist. Vom Standpunkt dler uniformen Struktur aus stimmt ferner die Klasse der BANAaH-Raume der Dimension > 1 mit der der stark lokal beschrankten 2 -B ~~~c ~-R & u r n e iiberein. Neben den allgemeinen Betrachtungen uber 2-BANAcH-Raume bringt die Arbeit Untersuchungeli iiber Raume bilinearer bzw. linearer Abbildungen, die unter Benutzung von 2-Normen zu BANACH-bzw. ~-B A -NAcH-Raumen gemacht werden und Aussagen iiber eine Reihe wichtiger Probleme, unter anderem das der Ubertragung des Satzes von HAHN-BANACH auf bilineare Funktionen uber 2-normierten Raumen, ermoglichen. 1. Einleitung L sei ein linearer Raum der Dimension groBer als 1 und Y eine reelle Funktion uber L x L, die folgende vier Eigenschaften besitzt. Es gilt 1. v (a, b ) = 0 genau dann, wenn a und b linear abhangig sind, 2 . Y (a, b ) = Y (b, a ) , 3. v (a, /il b ) = 1 / 3 I v (a, b ) fur jede reelle Zahl /il sowie 4. v (a, b + c) 5 v ( a , b ) + v (a, c), u heist 2-Norm uber I; und (L,v) 2-normierter R a u m ([3], [5]). Die durch CT (a, b, c ) = v ( ba, ca ) definierte Funktion n uber L x L x L ist eine 2-Metrik uber L ( [ 2 ] , [3], [ 5 ] ) , die natiirliche 2-Metrik von ( L , Y ) genannt wird. Fur eine Reihe spaterer Uberlegungen sind zwei spezielle Klassen von 2-Normen von besonderer Bedeutung, die nun angefuhrt werden sollen.