Einen topologischen Raum E eines gewissen Typs z nennen wir z-vollstiindig, wenn er keine Erweiterungen F + E besitzt, die E iiberall dicht enthaltenl) und selbst Riiume vom Typ z sinds). Andererseits nennen wir einen Raum E des Typs z z-minimal, wenn jede schlichte stetige Abbildung von E auf einen Rauni vom Typz ein Homoomorphismus ist, oder, was dasselbe besagt, wenn die Topologie des Raumes E keine echte Vergroberung besitzt, bei der wieder ein Raum vom Typ z entsteht3). I n der vorliegenden Note werden die Beziehungen dieser beiden Begiffe zueinander fur verschiedene R.aumtypen untersucht. Es wird sich zeigen, daB in etlichen Fallen beide Eigenschaften gleichwertig sind und daB in zwei weiteren wenigstens die erste Eigenschaft eine Folge der zweiten ist. Hiernach besteht also eine sehr enge Beziehung zwischen der Moglichkeit, einen Raum nichttrivial zu vergrohrn und der, seine Topologie zu vergrobern, jeweils unter Erhaltung seines Typs.
- Folgende Typen von Raumen sollen in unserer Betrachtung beriicksichtigt werden *) : I) Im folgenden sol1 ein Reum W nwr dann Erweibrung des Raumea E heiBen, wenn E iiberall dichter Teilraum von E ist. *) Wir weichen hier bewuDt von der klaasischen Bezeichnung eb, nach der die hier aepariert-vobthdig genannten Rliume ebsolut-abgeachloeeen heiDen. Abgesdloeeenhcit bezeichnet im allgemeinen eine Eigenecheft, die fur Teilmengen A einer irgendwie struktnrierten Menge E erklirrt iat, Vobfiindigkeit degegen eine Eigenecheft der strukturierten Menge E aelbst innerhalb einea Systams von strukturierten Mengen gleicher Art (siehe &we [ 6 ] , 8 3). Die.hier betrachtete Eigenschaft von Rliumen vom Typ t, in.jeder Erweiterung (im allgemeineren Sinne) diesee Typa ebgeechloeaen zu sein, d. h. in dem eben unter') erkhrtan engeren Sinne: keine echten Erweibrungen diems Typs zu haben, iat in dieaem Sinne offenbar eine Vollstlindigkeitseigenechaft. -Im ubrigen hat die Wahl des Amdrucks t-vobtiindig noch einen anderem gubn Grund: Bei den meiabn in Frage kommenden h u m t y p e b t ht e h h u m gemu denn 7-vollatlindig, wenn auf ihm elle Filter ehea beatimmten Type konvergieren, khnlich wie ein uniformer'Raum vobtlindig iat, wenn alle mine Ceuchyfilter konvergieren. Wir werden euf diesen Zueemmenhang in spirteren Arbeiten noch zuriickkommen. *) Gleharen zu zwei versohiedenen Topologien auf einer Menge E die Umgebungsfilter %,(z) bzw. $,(z), z E 1 , so h e a t die durch $,(z) gegebene Topologie grbbr (echt gr6ber) ale die duroh &(z) gegebene, wenn bei ellen q E E &(z) %*(z) (und bei wenigstem einem z %,(z) =t= %,(z)) gilt. *) W o nicht endera vermerkt, halten wir nns im folgmden ateta an die*Bezeichnungsw e h n von N. Bourbaki IS].