リー群の話

✍ Scribed by 佐武一郎

• Publisher: 日本評論社
• Year: 1982
• Tongue: Japanese
• Leaves: 289
• Series: 日評数学選書
• Category: Library

✦ Table of Contents

リー群の話
第1章 リー群とは何か?
1. 行列の群
2. SL(n,R)とO(n)
3. 図形としての行列群
4. 超曲面としての SL(n,R)
5. リー群とは
第2章 リー群のリー環
1. 左乗法と右乗法
2. カルタンの定理
3. O(n)の場合
4. リー群上の曲線
5. 行列のリ一環
第3章 ワン・パラメーター部分群と指数関数
1. リー環の定義
2. リー群とリー環の対応
3. ワンパラメーター部分群
4. ベクトル場の積分曲線
5. 指数関数
6. 指数関数の例
第4章 リー群の位相(ワン・パラメーター群の分類)
1. 局所から大局へ
2. コンパクト性
3. 連結性
4. ワン・パラメーター群の分類
5. 第一の場合(直線型)
6. 第二の場合(トーラス型)
第5章 閉じていないワン・パラメーター群
1. 第三の場合
2. ベールの定理：塵は積っても山にならない
3. 閉じたワン・パラメーター部分群
4. 閉じていないワン・パラメーター部分群
5. 固有値による分類
第6章 指数写像の応用
1. 指数写像のヤコビアン
2. ハウスドルフの公式
3. リー群の連結成分
4. リー群とリー環の対応
5. リー群の構成
第7章 変換群としてのリー群
1. 変換群
2. 変換群の定義と例
3. 解析的変換群，線形変換群
4. オービット，固定部分群
5. Sym_n($R$)のオービット分解
6. 交代行列の場合
第8章 いろいろな直交群(そのカルタン分解)
1. $\mathscr{S}^{(n)}$のオービット分解
2. 固定部分群としての直交群
3. Sym_n($R$), Alt_n($R$) における指数関数
4. Gのカルタン分解
5. 一般直交群のカルタン分解
第9章 リー群の階数
1. $\mathscr{P}^{(n)}$の極大部分群
2. $\mathscr{P}S$ の極大部分群
3. $\mathscr{P}^{(n)}$ の $K$-オービット分解
4. もう一つの補題($\mathscr{P{s''}}$ のオービット分解)
5. 定理2の証明
第10章 ウィットの定理とその応用(シンプレクティック群)
1. 一般の距離ベクトル空間
2. アイソトロピック・ベクトル
3. ウィット分解
4. ウィットの第二定理：直交群の軌跡は球である
5. ウィット分解の一意性
6. 交代双一次形式の場合
第11章 不変微分作用素のリー環
1. ベクトル場と微分作用素
2. ポアソンの括弧
3. 不変微分作用素
4. いくつかの例
5. 一般の場合
第12章 高次の不変微分作用素(リー環の展開環)
1. 左不変微分作用素と右不変微分作用素
2. リー群の共役表現
3. 高次の不変微分作用素
4. 微分作用素の頭部
5. リー環の展開環
6. カシミール作用素
第13章 $\mathscr{P}_n(R)}$上の不変微分作用素
1. $\mathscr{P}_n(R)}$の場合
2. 定理1の証明
3. $\mathscr{I}$の同時固有関数
4. 定理2の証明
5. 対称リーマン空間
文献
線形代数雑談
I. マトリックスとは何か?
1. B君の疑問
2. 一次写像と行列
3. 双一次形式(双一次写像)と行列
4. 底の変換
5. 行列の標準形
II. 写像空間，特に双対空間
1. 夢の夢は?
2. 一次写像の空間
3. 一つの同型定理
4. ベクトル空間の双対性
III. テンソルの概念
1. マトリックスからテンソルヘ
2. テンソルの実体は?
3. テンソル積
4. 基本定理の証明
5. テソソル空間
IV 標数2の線形代数
1. 標数2の世界
2. 標数 $p$ のベクトル空間
3. 対称式と交代式
4. 標数2の行列式
V. 2次形式，3次形式，etc.
1. 対称双一次形式と2次形式
2. 標数2の場合
3. 標数2は役に立つか?
4. 3次形式の場合
VI. P.I.D. の上の加群
1. ベクトル空間の拡張
2. 環の上の加群
3. P.I.D. の上の自由加群
4. 定理1の証明(埋め込み法)
5. 定理2の証明(ブツ切り法)
6. P.I.D.の性質
VII. アーベル群の基本定理とジョルダン標準形
1. 商加群と直和
2. 巡回加群，ねじれ加群
3. 基本定理
4. 基本定理の証明
5. ジョルダン標準形
付録. G.A.マルグリス(不連続群の話)
練習問題の解答
リー群の話
第5章, p.61, 定理4の証明.
第7章, p.87, 練習問題.
第8章, p.101, 練習問題.
第9章, p.114, 補題3の証明.
第10章, p.127, 1)の証明.
第11章, p.137, 練習問題.
第12章, p.145, 練習問題.
第13章, p.158, 練習問題1.
p.160, 練習問題2.
線形代数雑談
I, p.176
III, p.196
IV, p.207
V, p.217
VI, p.227
第6章, p.72への補遺
索引