Über eine Verallgemeinerung der Supermartingaleigenschaft

✍ Scribed by Uwe Küchler; P. Heinz Müller; Silvia Rohmeiss

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1975
• Tongue: English
• Weight: 781 KB
• Volume: 70
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19750700106

✦ Synopsis

Als ein wertvolles Hilfsmittel beim Beweis von Konvergenzaussagen fur Probleme der stochastischen Approximation, der Lerntheorie und der stochastischen Suche dient die Martingaltheorie. Allerdings lassen sich bei den genannten Problemen die Untersuchungen nicht immer genau auf Martingale oder Semimartingale zuruckfuhren, indem die fur diese ProzeBklassen charakteristische Bedingung zwischenzeitlich immer ma1 wieder verletzt sein kann. Daraus ergibt sich die Frage nach der Aufrechterhaltung wichtiger Konvergenzaussagen fur geeignete Modifikationen der Martingale bzw. Semimartingale, die der Spezifik dieser Probleme besser angepaBt sind. I n der vorliegenden Arbeit werden Prozesse untersucht, die die Semimartingaleigenschaft nicht von Schritt zu Schritt aufweisen, sondern erst immer wieder nach einer endlichen Anzahl eventuell auftretender Ausnahmeschritte. Dabei steht die Frage im Vordergrund, inwieweit sich bekannte Konvergenzaussagen fur Semimartingale unter moglichst allgemeinen Voraussetzungen auf die verallgemeinerten Prozesse ubertragen lassen. Eine andersartige Verallgemeinerung des Martingalbegriffes findet sich unter anderem auch in [2]; dort werden Prozesse betrachtet, bei denen die Martingaleigenschaft nur asymptotisch gilt. 2. I m folgenden bezeichnen [Q, a, PI einen Wahrscheinlichkeitsraum, R1 die Menge der reellen Zahlen, T eine Indexmenge und {gt}t,T eine Familie von Teil-0-Algebren von mit der Eigenschaft : Fur alle t,, t, E T mit ti < t, gilt gt, c St,. Es sei weiterhin {X,},,, ein reellwertiger stochastischer Prozel3 uber [Q, a, PI. Der zufallige Prozel3 {Xt}tET heil3e der Familie {gt}tET adaptiert, wenn fur jedes t E T die ZufallsgroDe X , bezuglich st mel3bar ist, unddie Familie { X t , gt}tET wird adaptierter ProzeB genannt.