Die BEssELfunktionen haben in der mat heinatischen Literatur eine Vielzahl von Verallgeineinerungen gefunden. Nieht inimer standen hier Motive im Hintergrund, die erkennen lieBen, daB zur Losung vorgegehener Prohleine eine solclie Verallgemeinerung erforderlicli ist, wie bei E. 31. WRIGHT in 191, wo Probleme der additiven Zahleiitheorie zur Untersuchung der jetzt als WRIGHTfunktionen bekannten Funktionen zwangen.
In dieser Arbeit werden im Hinblick auf die Anwendungen in der Theorie tier uneingeschriinkten Zerfallungen (s. auch [S]) gewisse Verallgemeinerungen hp'(z) der REssELfunktionen untersucht, die in engem Zusammenhang init den L\IK.IGHT~u nkt ionen stehen.
In § 1 werden diese Funktionen als Schleifenintegrale iiher elementare Funktionen eingefuhrt. Dann wird eine Darstellung von hp)(z) als MELLIN-BARNESlntegral hergeleitet und schlieBIich hewiesen, daB unsere Funktionen MELLINtransforinierte einer modifizierten WRIaHTfunktion sind. Es erweist sich, daB 111 5 2 wird die Darstellung von h p ) ( z ) als MELLIN-BARNES-Integral zur Herleitung der TAYLoReatwicklnng mit deni Zentrum 0 verwendet, die hp)(z) als ganze Funktion von z erweist. Weiterhiii liest man ab, daB h'Q")(z) mit der verallgenieinerten hy~)ergeotnetrisclieii Funkt ion , Xi (s ; : ; -2 ) iibereinstinimt und fur p == 2 eine 13EssELfunktion erster Art ist. Bur letztere gibt es Darstellungen, die zeigen, daB die BEssELfunlrtionen sich fur / z / -+ 0 0 im weseiitlicheii wie trigonometrische Funktionen verhalten. I n 5 3 werden diese Ergebnisse verallgeineinert. Eine Moglichkeit hierzu ware, bekannte Ergebnisse von Fox aus [ 5 ] zu verwenden. Dieser Weg wird hier nicht verfolgt, da er nur fur rationale p Aussagen liefert (siehe auch [S], S. 125ff.). Eine weitere Moglichkeit bestande darin, inittels der Darstellungen als Mellintransformierte von WRIGHTfunktionen unter Benutzung deren asymptotischen Verhaltens Aussagen iiber h?)(x) fur / z / -> 00 zu gewinnen, wobei inan bekannte Ergebnisse von ERUELYI aus [4] iiber die Aspiptot ik von Exponentialintegraleli verwenden niuIjte (siehe auch 181, S. 137ff.).
k , ( 1 ) ( x ) = e-' gilt.