Über eine Verallgemeinerung der alternierenden Ableitung von Differentialformen I

✍ Scribed by Peter Hermann

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1972
• Tongue: English
• Weight: 730 KB
• Volume: 52
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19720520108

✦ Synopsis

Einleitung

Zur Definition eines erweiterten Differenzierbarkeitsbegriffs fur Differentialformen hat als erster E. CARTAN im Jahre 1922 vorgeschlagen ([I], Einleituiig; in [2], Chapitre 11. I1 wird dieser Vorschlag ausfuhrlich erlautert), den fur stetig differenzierbare Differentialformen gultigen STOKESschen Satz J w = Jd"' a,€J ,€J zu postulieren. Auf diesen Vorschlag zuruckgehende Definitionen sind voii H. WEYL [ZO] und P. GILLIS [4] untersucht worden. 1) Demgegenuber fordern CL. MULLER ([Ill, [I21 und [13]), F. und R. NEVANLINNA [I51 und I. S. LOUHIVAARA ([9] und [lo]) die Existenz eines Grenzwertes bzw. die Gultigkeit einer Zerlegungsformel J w = J dco (x") + Restglied, a@ Q, (1) die besser den lokalen Charakter des Ableitungsbegriffs beriicksichtigt. 2) F. und R. KEVANLINNA [I51 benutzen in ihrer Zerlegungsformel affiiie Siniplexe als IntegrationsrnannigfaItigkeit. Die damit aufgebaute Theorie ist in sich abgeschlossen: Der Satz von STOKES wird fur affine Sirnplexe bewiesen, und das Problem der Konstruktion einer Differentialform mit vorgegebener verallgemeinerter alternierender Ableitung wird in sternformigen Gebieten gelost. 1) Auf einen Reitrag von H. CARTAN zur Behandlung der Definitionen von E. CARTAN und P. GILLIS wird von E. CARTAN in [a], Chapitre 11. 11. 3531) sowie von B. SEGRE in [17], 2a aufmerksam gemacht. B. SEGRE geht in [17], Cap. I1 auch auf die Arbeit von P. GILLIS ausfuhrlich ein. 2) Eine in diese Richtung einzuordnende Verallgemeinerung der Rotation eines dreidimensionalen Vektorfeldes ist von A. Szucs [I91 in einem anderen Zusammenhang schon 1927 behandelt worden. I m gleichen Jahr hat M. E. MULLINGS [I41 eine analoge Verallgemeinerung der Rotation untersucht.