Ein eindimenvionales Element 71: + 0 einer linewen Algeebra A wird durch die Gleichheit 2L'Z74J=gU~(Z)W (Zc A ) definiert, wobei g,+O ein auf A gegebenes lineares Funktional ist.. In einer fruheren Notiz [4] wurden einige Aussagen iilier. eindimensionale Elemente zusammengefaljt auf die wir hier mitunter stillschweigend zuriickgeifen werden und deren meiste fur Ranachalgebren gut bekannt sind [l -3, 3, 61. Jetzt sol1 uns intercssieren, was fur Folgerungen eine Halliordnung in A fur eindimensionale Elemente und deren entsprechende .Funktionaie hat. Da eindimensionale Elemente yon ( )peratorenalgehren A c H , ( X ) ( = Algebra aller regullren oder ordnungsheschriinkten linearen Operatoren auf einem hedingt vollst8ndigen Vektorverband X) i. a. mit den in A enthaltenen eindimensionalen ( )peratoren zusnnimenfallen und fiir diew .,alles einfach iind gut steht". scheinen einige der folgenden Anssagen trotz ihrer Elementarheit sowohl fur sich ron Interevse als auch 1)eziiglich der Frage. wann denn eine hal1)geordnet.e lineare Algebra als Algehra ordnun~sl)eschr8rikt er 01)eratoren darstelllmr sein konnte. Zugunvten einer inBglichst kompnkten llarstelluny werden notwendige Erliuterungen zu einigen dieser Bussagen erst iin Zuge ihrer Beweise oder als anschlierJende Itemerkungen gettraclit. Reyriffe wit1 Syinitolik sirid die iihliclien (man vergleiche clam etn-a
Satz 1. Sai 7 1 3 ein rinrli~iieiision~l~s Eleirient eincr hnlbgeordnPfen h e n r a n .4lqohru
olge, ( i i ) A sci sogclr Pine l-Alqebr(i, und hu6e kinrpichend cielp cinIlitneiinio,2~~1~ Elernentp. Fcrner sei m c h . /TNl einr/i?nensio?zd tcwl es gel& g,7,. = yl,,j. 3 h t w h.nt gWwO m r Folqe 71: > O . &-l. 3)1wn gilt: Beweis. , (i) irst offensirhtlich. (ii) Die Algebra A hat nach Definiticin kinreichend t:ielt? eindimeicsioizccle Ekinenfe, falls fur jdex ihrer Elemente x * 0 ein eiridirnenaionales Element ic mit XTE 2 0 csistiert. Das ist iiquivalent dam, daB fiir jedw ihrer Eleniente z *O ein