Einlei tung
W. FELLER zeigte in den funfziger Jahren (siehe z. B. [4], [ 5 ] , [6]), daB der verallgemeinerte Differentialoperator D,, 0 , ' 1) -eventuell eingeschriinkt durch gewisse (sogenannte lokale) Randbedingungender infinitesimale Operator einer stark stetigen Halbgruppe positiver Kontraktionen ist, also einen MARKOV-prozel3 X = (q, [, At, PJ2) mit dem Phasenraum [ro, rl] bestimmt. Dabei ist bekannt, daB fast alle Trajektorien dieses Prozesses stetig sind.3) I n [7] beschrieb W. FELLER den infinitesimalen Operator des Geburts-und Todesprozesses durch einen Differenzenoperator zweiter Ordnung. Diese Resultate wurden von E. B. DYNKIN und A. A. JUSKEVI~: [3] weitergefiihrt. I. S. KREIN und M. G. KAC [9] definierten D, 0 , ' mit einer nur isotonen Gewichtsfunktion m. Dieser Operator verallgemeinert sowohl Differential-als auch Differenzenoperatoren zweiter Ordnung ; er ist Gegenstand der Untersuchungen in [lo]. Dort wird gezeigt, daB gewisse Einschriinkungen von D, 0 , ' ebenfalls MARKovprozesse iin Phasenrauni I n der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die Gestalt der Trajelitorien solcher Prozesse. Durch Einfuhrung eines neuen ,,Umgebungsbegriffes" gelingt es dabei, einen groBen Teil der bekannten Ergebnisse fur Prozesse mit zusammenhiingendem Phasenrauin [rot r , ] auf den allgemeinen Fall zu iibertragen. Insbesondere haben fast alle Trajektorien dieser MARKovprozesse keine Unstetigkeiten zweiter Art, sind rechtsstetig und besitzen die Eigenschaft, daB fur jeden Zeitpunkt t mit 0 < t < zwischen den Punkten x t -O und xt kein weiterer Punkt des (moglicherweise unzusammenhiingenden) Phasenraumes liegt . Meinem Lehrer, Herrn Professor H. LANGER (TU Dresden), danke ich sehr fur die Anregung zu dieser Arbeit und das fordernde Interevse an ihrem Zustandekommen. == supp (m) erzeugen. ~~ ~ 1) Die Funktionen m und p auf [T,), r,] C R' sind streng isoton sowie rechtsstetig bzw. stetig. 2) Wir benutzen im folgenden weitgehend die Terminologie von E. B. DYNRIK. 3) In den ersten Kapiteln der Monographie von P. MANDL [ll] findet man eine zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse von TV. FELLER und E. B. DYNKIN.