Über eindimensionale Elemente linearer Algebren und einige algebraische Eigenschaften eines elementaren Operators

✍ Scribed by J. Synnatzschke

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1985
• Tongue: English
• Weight: 606 KB
• Volume: 123
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19851230111

✦ Synopsis

Eindimensionctle Operatoren als einfachste Elemente wichtiger umfassenderer Operahrenklassen wurden bisher auf mehrere Weisen abstrakt fur verschicdene Kategorien von Algebren definiert. Wir greifen hieraus auf den Begriff des eindimensionalen Elementes zuruck. In 8 1 werden einige einfache Eigenschaften eindimensionaler Elemcnte aufgefiihrt. I n 5 2 werdcn lineare Algebren betrachtet, deren Menge eindimensionaler Elemente in einem bestimmten Sinne hinlanglich umfangreich ist. Es erweist sich, daB &us der Theorie der BANACE-Algebren bekannte Beziehungen zwischen minimalen Idempotenten und minimalen Idealen ihr Analogon in solchen Algebren haben (Theorem 2.2) und ein Darstellungssatz (Theorem 2.6) giiltig ist, dcr ebenfalls sein Vorbild in der Theorie der BANAcHschen und C*-Algebren hat. I n 5 3 schlieBlich wird der elementare Operator z + 2 b p q betrachtet, deesen Spezialfiille der bekannte und intemiv untersuchte Operator T ~~: z + bzu: nnd insbesondere die innere Derivation db: z + bzzb sind. Eine Aussage bei C. K. FONQ und A. R. SOUROUR [ 6 : Theorem 11, die dort eine Ausgangsschlusaelstellung einnimmt, wird auf lineare Algebren mit hinreichend vielen eindimemionalen Elementen ubertragen und gcstattet deshalb auch die Ubertragung auf solche Algebren einer ganzen Reihe weiterer, dort fiir BANACE-Algebren aufgezeigter Beziehungen algebraischen Charakters. Da sich rnit den Pakten auch weitgehend deren Beweise iibertragen lassen, werden wir uns d a m meisten8 auf wenige Kommentare beschriinken. 5 1. Eindimensionale Elemente linearer Algebren In1 folgenden sei d immer eine lineare Algebra, deren Assoziativitlit stillschweigend vorausgesetzt wird. Ihro Elemente bezeichnen wir mit a, b, c, x, y und z, ihre eindimensionalen Elemente mit u, v und w. Wir werden mit der Definition des eindimensionalen Elementes beginnen, danach einige Beispiele streifen und schliel3lich einige einfache Eigenschaften eindimensionaler Elemente angeben. Definition 1.1. Ein Element w =+ 0 einer linearen Algebra d heifit eindimensional, falls fur ein Funktional gu, + 0 auf d die Darstellung 2uzu) = g&) w (2 E A ) moglich ist. Die Definition entapricht bis auf die Nichttrivialitiit des eindimensionalen Elementes der von J. PURL [0] fur halbeinfache komplcxc BANACE-Algebren gegebenen. Es gibt aber vorerst keinen Zusammenhang mit dem von J. A. ERDOS [3] und J. A. ERDOS e t al. [4] fur C*-Algebren und BmAcH-AIgcbren gebrauchten Begriff des single Elements (8 aus d heil3t single, falls aus bec = 0 folgt bs = 0 oder ec = 0): Ein eindimcnsiondes Element muD weder single noch ein single Element eindimensional sein. Allerdings gilt fiir eine linearc Algebra mit o-hinreicbnd vieZen eindimensionalcn Elementen (8. u. Dcf. 2.3), daD jedes ihrcr cindimensionalen Elemente auch single ist.