Asymptotische Formeln für einige arithmetische Funktionen

✍ Scribed by G. J. Rieger

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1967
• Tongue: English
• Weight: 199 KB
• Volume: 33
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19670330104

✦ Synopsis

Es bezeichnen d ( n ) die Anzahl der Teiler der natiirlichen Zahl n und p die Momussche Funktion. Fur relle Zahlen 0 5 tc < / 3 sei Y,,o(n) : = 22 P ( a ) a= bS-ub=n Es ist Es stimmt q ~~, ~ mit der EuLERschen qI-Funktion iiberein. Unter gewissen Voraussetzungen an die ganzen Zahlen k, , k 2 , bi , b2 wollen wir hier abschiitzen (Satz 2 ) . Zum Beweis wird bei festem kl , k2 und b die Diophantische Gleichung k , l r -E l m s = b genauer untersucht; dieser Gedanke hat schon vie1 fruher INGHAM [f]

etwa in den Fallen k, = 3 1, k, = 1 zu interessanten Ergebnissen gefiihrt.

Zunachst beweisen wir

Satz 1. Fur reelle Zahlen 0 5 u < ,6, X 2 2 und ganze Zahlen h, > 0,

,IX; h, k, b ) : = ,Z'.ZZ.Zp(m) ma s B . wobei uber alle naturlichen Zahlen 1, r , m, s mit m s 5 X und h l rk m s = b zu summieren ist; dann gilt C,,,(X; h, k , b ) = Yf Y B ( N yl,(b) XBt1 log x + 0 ( X B + ' )