Asymptotische Entwicklungen für Parameterintegrale. III

✍ Scribed by Lothar Berg

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1964
• Tongue: English
• Weight: 486 KB
• Volume: 27
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19640270503

✦ Synopsis

Die in den ersten beiden Teilen dieser Arbeit ([l], [Z]) aufgestellte asymptotische Entwicklung fiir Parameterintegrale son jetzt erneut unter allgemeineren Voraussetzungen bewiesen werden. Ohne Regularitat zu fordern, wird die Untersuchung weitgehend im Komplexen durchgefiihrt, wobei die Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sogar noch eingeschrgnkt und Funktionen mit sich haufenden Nullstellen nicht mehr ausgeschlossen werden. Insbesondere wird auch der zuvor noch offen gebliebene Fall 30 aus [3] erledigt. Wie zuvor betrachten wir das Parameterintegral b W G ( s ) = 1 G ( s , t ) d t , a(#) (1) wenn die komplexe oder reelle VerBnderlidhe 8 in bestimmter Weise gegen die Stelle A' strebt. Der Integrand darf ebenfalls komplexe Werte annehmen, lediglich t sei der Einfachheit halber eine reelle Veriinderliche. Wir zerlegen den Integranden in ein Produkt G(s, t ) = K ( s , t ) H ( s , t ) . Dabei sei K(8, t ) der Hauptbestandteil, den wir lediglich als integrierbar voraussetzen, wiihrend H (8, t ) eine ,,Storungrr sei, die fiir a 5 t 5 b mindestens 2 n in bezug auf t stetige partielle Ableitungen nach t besitzen moge. Fiir diese benutzen wir wieder die Indexschreibweise H,(s, t) = -H ( s , t). Entwickeln wir H (s, t ) an irgendeiner Stelle ~( s ) mit a < 2 < b nach der TAYLoRschen Formel, so erhalten wir fiir (1) a. a t v 2n-1 1 b G(s) = C -H V (892) J K(8, t ) ( t -2)" d t + &n(S) y=o v ! ( 2 ) mit a (3) b 1 ( 2 nl)! a t R ( s , t ) J Hzn(s, u ) (t-ujZn-' du d t . R,n (s)= 2 Wir fiihren zwei Funktionen K ( s ) , z ( 8 ) ein, von denen die zweite positiv sein soll, so daD (4) b J' K (S, t ) (t -X)' d t = O(K ( 8 ) Z"+' ( 8 ) ) a