I n der Arbeit
[l] wurde ein allgemeiner Weg angegeben, um fur Parameterintegrale eine asymptotische Entwicklung herzuleiten. Allerdings wurden dort keine Voraussetzungen aufgestellt, unter denen dieser Weg sicher zum Ziel fuhrt, er wurde lediglich an Hand einiger Beispiele erlautert. Vollstandige Beweise findet man fur eine spezielle Klasse von MELLIN-Integralen in der Arbeit [2], und diese Untersuchungen sind von Herrn H.-J. PRESIA in seiner Dissertation [7] auf eine spezielle Klasse von LAPLACE-Integralen ubertragen worden. I n der vorliegenden Arbeit wird nun unter weitgehend allgemeinen Voraussetzungen die in [ 11 angegebene asymptotische Entwicklung bewiesen, wobei zugleich noch eine bei den in [2] und [7] hergeleiteten speziellen Entwicklungen offen gebliebene Frage mit beantwortet wird. Wir gehen von dem Integral b G(s) = J G(s, t ) d t a aus, bei dem die Grenzen a, b auch von dem reellen Parameter s abhangen konnen oder auch uneigentlich sein durfen, und untersuchen sein Verhalten fur s -+ S, wobei auch hier .die Fiille S = 6 00 zugelassen sind, aber in der Regel nur eine einseitige Anniiherung an S betrachtet wird. Den Integranden zerlegen wir in ein Produkt ( 2 )
G (8, $1 = K (8, t ) H (8, t ) , bei dem der reelle Faktor K ( s , t ) den Hauptbestandteil bedeuten moge, der im Innern des Integrationsintervalls ein ,,starkes" Maximum besitzen soll, wihrend H (s, t ) eine im Verhaltnis zu K ( s , t ) kleine Storung sei, die auch komplexe Werte annehmen darf. Die genaue Lage des Maximums von K (8, t ) brauchen wir nicht zu kennen. Wichtig ist lediglich, ein Interval1 anzugeben, in dessen Innern die ,,groWen" Funktionswerte von K (8, t ) liegen, wahrend die Funktionswerte auWerhalb dieses Intervalls zur asymptotischen Entwicklung keinen Beitrag liefern. Die Lange dieses Intervalls nennen wir 2 w und seinen Mittelpunkt x, den wir als Naherungswert fur