✍ Scribed by 梅加强
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本书介绍黎曼曲面的基本理论.对于一般黎曼曲面主要讨论单值化定理，对于紧致黎曼曲面则主要围绕Riemann-Roch公式的证明和应用展开讨论.全书共分五章.第一章介绍复分析中的一些预备知识并证明Riemann 映照定理.第二章利用Perron方法给出单连通黎曼曲面的分类，即单值化定理.第三章给出Riemann-Roch公式的经典证明，并讨论这个公式的大量应用.第四章引入全纯线丛，层和层的上同调的概念，并利用这些概念重新将Riemann-Roch公式解释为一个指标公式.第五章讨论黎曼曲面以及全纯线丛上Hermite度量的几何性质，并介绍Hodge定理,对偶定理和消没定理.这些定理都可以推广到高维的复流形上.
本书结合了几何和分析的观点,语言简洁，内容丰富,适合自学.在引进抽象的概念时，往往辅以许多具体的实例来说明问题.掌握了黎曼曲面上的这些抽象概念以后读者可以自然地过渡到一般复流形的学习.同时，本书可以作为研究复几何和代数几何相关领域的入门读物.
目录
第一章 Riemann 映照定理
§1.1 Schwarz 引理
§1.2 调和函数
§1.3 Riemann 映照定理
第二章 单值化定理
§2.1 黎曼曲面的定义
§2.2 Poincaré 引理
§2.3 亚纯函数与亚纯微分
§2.4 Perron 方法
§2.5 单值化定理
第三章 Riemann-Roch 公式
§3.1 因子
§3.2 Hodge 定理
§3.3 Riemann-Roch 公式
§3.4 若干应用
§3.5 Abel-Jacobi 定理
第四章 曲面与上同调
§4.1 全纯线丛的定义
§4.2 因子与线丛
§4.3 层和预层
§4.4 层的上同调
§4.5 上同调群的计算
第五章 曲面的复几何
§5.1 Hermite 度量
§5.2 线丛的几何
§5.3 线丛的 Hodge 定理
§5.4 对偶定理
§5.5 消没定理
§5.6 线丛的陈类
附录A 三角剖分和 Euler 数
附录B Hodge 定理的证明
参考文献
名词索引
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