✍ Scribed by 陈维桓，李兴校
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《黎曼几何引论(上)》可供综合大学、师范院校数学系、物理系学生和研究生作用教材，并且可供数学工作者参与。“黎曼几何引论”课是基础数学专业研究生的基础课。从1954年黎曼首次提出黎曼几何的概念以来，黎曼几何学经历了从局部理论到大范围理论的发展过程。现在，黎曼几何学已经成为广泛地用于数学、物理的各个分支学科的基本理论。《黎曼几何引论(上)》上册是“黎曼几何引论”课的教材，前四章是黎曼几何的基础；第五与第六章介绍黎曼几何的变分方法，是大范围黎曼几何学的初步；第七章介绍黎曼几何子流形的理论。每章末都附有大量的习题，书末并附有习题答案和提示，便于读者深入学习和自学。
绪论
第一章 微分流形
1.1 微分流形
1.2 光滑映射
1.3 切向量和切空间
1.4 单位分解定理
1.5 光滑切向量场
1.6 光滑张量场
1.7 外微分式
1.8 外微分式和积分和Stokes定理
1.9 切丛和向量丛
习题一
第二章 黎曼流形
2.1 黎曼度量
2.2 黎曼流形的例子
2.3 切向量场的协变微分
2.4 联络和黎曼联络
2.5 黎曼流形上的微分算子
2.6 联络形式
2.7 平称移动
2.8 向量丛上的联络
习题二
第三章 测地线
3.1 测地线的概念
3.2 指数映射
3.3 孤长的第一变分公式
3.4 Gauss引理和法坐标系
3.5 测地凸领域
3.6 Hopf-rinow定理
习题三
第四章 曲率
4.1 曲率张量
4.2 曲率形式
4.3 截面曲率
4.4 Ricci曲率和数量曲率
习题二
第三章 测地线
3.1 测地线的概念
3.2 指数映射
3.3 弧长的第一变分公式
3.4 Gauss引理和法坐标系
3.5 测地凸邻域
3.6 Hopf-Rinow定理
习题三
第四章 曲率
4.1 曲率张量
4.2 曲率形式
4.3 截面曲率
4.4 Ricci曲率和数量曲率
4.5 Ricci恒等式
习题四
第五章 Jacobi场和共轭点
5.1 Jacobi场
5.2 共轭点
5.3 Cartan-Hadamard定理
5.4 Cartan等距定理
5.5 空间形式
习题五
第六章 弧长的第二变分公式
6.1 弧长的第二变分公式
6.2 Bonnet-Myers定理
6.3 Synge定理
6.4 基本指标引理
6.5 Rauch比较定理
习题六
第七章 黎曼流形的子流形
7.1 子流形的基本公式
7.2 子流形的基本方程
7.3 欧氏空间中的子流形
7.4 极小子流形
7.5 体积的第二变分公式
习题七
习题解答和提示
参考文献
索引
黎曼几何，微分几何
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《黎曼几何引论》分上、下两册出版，本书为下册，可以作为“黎曼几何”课程的后续课“黎曼几何II”的教材。当前，微分几何与数学的各个分支的相互影响越来越深刻、关系越来越密切。本书较好地反映了这种紧密的联系，其内容共有三章，包括Kahler流形、黎曼对称空间及主纤维丛上的联络。每章末都附有大量的习题，书末并附有习题解答和提示，便于读者深入学习和自学。 本书的选材和叙述都有它独到之处，与现有的数学文献相比颇具特色，可作为综合大学、师范院校数学系、物理系等相关专业研究生课程或研究生读者讨论班的教材或参考书，也可供从事微分几何、调和分析，以及数学物理等专门方向的研究人员参考。
本书介绍黎曼曲面的基本理论.对于一般黎曼曲面主要讨论单值化定理，对于紧致黎曼曲面则主要围绕Riemann-Roch公式的证明和应用展开讨论.全书共分五章.第一章介绍复分析中的一些预备知识并证明Riemann 映照定理.第二章利用Perron方法给出单连通黎曼曲面的分类，即单值化定理.第三章给出Riemann-Roch公式的经典证明，并讨论这个公式的大量应用.第四章引入全纯线丛，层和层的上同调的概念，并利用这些概念重新将Riemann-Roch公式解释为一个指标公式.第五章讨论黎曼曲面以及全纯线丛上Hermite度量的几何性质，并介绍Hodge定理,对偶定理和消没定理.这些定理都可以推广到高维的
<p>《黎曼几何初步》是黎曼几何的一本入门教材。本书从黎曼度量及联络出发，介绍了黎曼流形研究中的各种基本概念和技巧。以测地线的研究为重点讨论了各种形式的比较定理和morse指数定理，同时还介绍了子流形几何学。书中也勾画了近代微分几何中的一些重大成果，如球面定理、正质量猜想以及几乎平坦流形等，最后还列举了当今微分几何研究中一些尚待解决的问题。</p> <p>《黎曼几何初步》可作为大学、师范院校数学系高年级选修课教材以及研究生教材，也可供数学工作者参考。</p>
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