現代整数論の風景

✍ Scribed by 落合理

• Publisher: 日本評論社
• Year: 2019
• Tongue: Japanese
• Leaves: 204
• Category: Library

✦ Synopsis

高度に抽象化した現代の整数論の理解のために、「素数」や「ゼータ関数」をキーワードとして初等整数論からの橋渡しを試みる。

✦ Table of Contents

表紙
まえがき
第1章　広がっていく数の世界（1）
1.1　自然数から整数，整数から有理数へ広がる数の世界
1.2　「無限小近似」を求めて実数へとさらに広がっていく数の世界
1.3　実数の世界から振り返った有理数たちの見え方
1.4　有理数における他の無限小近似
第2章　広がっていく数の世界（2）
2.1　複素数の体系の出現と代数学の基本定理
2.2　方程式の根によって広がる数の世界
2.3　番号付けられる無限と番号付けられない無限
2.4　数の世界の広がりの地図
第3章　無理数を感じたい，超越数を見極めたい
3.1　無理性と超越性
3.2　無理性と有理数近似
3.3　実数を有理数で近似する方法
3.4　連分数から見た有理数と2次の代数的数
3.5　HermiteとLindemannの方法
3.6　20世紀以降の超越数論の進歩
第4章　ゼータの登場（1）
4.1　素数再訪
4.2　ゼータ値の登場
4.3　ゼータ値の無理性と超越性
4.4　ゼータとは何者だろうか
第5章　ゼータの登場（2）
5.1　Euler以後，Riemann以前
5.2　複素関数の世界
5.3　素数の分布と素数定理
5.4　Riemannの原論文とゼータ関数
5.5　ゼータ関数と素数の分布
第6章　代数的整数論の源流を求めて（1）
6.1　整係数2元2次形式とは何か
6.2　整係数2元2次形式と表示問題
6.3　Fermatの最終定理
第7章　代数的整数論の源流を求めて（2）
7.1　KummerとDedekind
7.2　代数体，イデアル類群，単数群
7.3　2次体と円分体
7.4　Gaussからの宿題？
第8章　整数論における局所と大域
8.1　合同類と剰余環
8.2　平方剰余の相互法則とその証明
8.3　円分体とそのガロワ群
8.4　p進が拓く新しい数論の世界
第9章　ゼータの進化（1）
9.1　代数体と関数体の類似
9.2　合同ゼータ関数の定義と例
9.3　Weil予想
第10章　ゼータの進化（2）
10.1　代数多様体から生じるゼータ
10.2　モジュラー形式
10.3　モジュラー形式から生じるゼータ
10.4　ロゼッタストーン
第11章　ゼータ関数の特殊値（1）
11.1　Riemannのゼータ関数やDirichletのL関数の特殊値
11.2　解析的類数公式の登場
11.3　解析的類数公式の証明と応用
11.4　s=0,1以外の整数点での値とその意味
第12章　ゼータ関数の特殊値（2）
12.1　臨界点の世界と非臨界点の世界
12.2　楕円曲線のL関数とその特殊値
12.3　周期数の世界
12.4　周期とゼータ関数の特殊値とのつながり
12.5　最後に
Appendix 巻末補注
A.1　第1.3節
A.2　第3.3節
A.3　第5.2.3節
A.4　第8.3節
参考文献一覧
索引
奥付