数理逻辑导引

✍ Scribed by 冯琦

• Publisher: 科学出版社
• Year: 2017
• Tongue: Chinese
• Leaves: 534
• Series: 现代数学基础丛书
• Category: Library

✦ Synopsis

本书是作者在新加坡国立大学、北京大学和中国科学院大学为本科高年级学生开设的数理逻辑选修课和在新加坡国立大学、中国科学院数学与系统科学研究院为研究生开设的专业课程所写讲义基础上整理出来的结果。本书主要由一阶逻辑的核心内容和有关数的逻辑探索和分析两大部分组成，其中包括完备性、紧致性、同质缩小、型省略等基本定理；有关数的经典理论的完全性和可定义性分析；哥德尔不完全性定理、丘奇不可判定性定理、塔尔斯基自然数标准模型真相不可定义性定理以及巴黎-哈灵顿不完全性定理。

✦ Table of Contents

目录
《现代数学基础丛书》序
序言
第0章引言
第1章命题逻辑
1.1基本问题
1.2命题表达式
1.3逻辑赋值与可满足性
1.4布尔函数可表示性
1.5可证明性与一致性
1.6形式证明的几组例子
1.7完备性
1.8第一完备性证明
1.9命题逻辑紧致性
1.10命题范式
1.11命题逻辑与布尔代数
1.12练习
第2章一阶语言和一阶结构
2.1一组经典例子
2.2一阶语言
2.2.1符号
2.2.2项
2.2.3表达式
2.2.4自由变元和受囿变元
2.2.5替换与可替换性
2.3一阶结构
2.3.1项赋值
2.3.2满足关系
2.3.3局部确定性定理
2.3.4替换定理
2.3.5缩写表达式
2.4几个一阶语言和结构的例子
2.5数与数的集合
2.5.1自然数
2.5.2整数
2.5.3有理数
2.5.4实数
2.5.5复数
2.6练习
第3章一阶结构之同构、同样与同质
3.1预备知识：可数与不可数
3.2一阶结构之同构与同样
3.2.1有理数轴
3.2.2同构
3.2.3同样
3.3可定义性
3.3.1可定义性
3.3.2不变性
3.3.3实数轴区间定理
3.4同质子结构
3.4.1子结构、扩充结构与裁减结构
3.4.2结构元态与全息图
3.4.3同质子结构
3.4.4同质与同样
3.4.5塔尔斯基判定准则
3.4.6实数轴同质子轴
3.4.7同质缩小定理
3.4.8稠密线性序
3.4.9嵌入与同质嵌入
3.5练习
第4章逻辑推理与逻辑结论
4.1逻辑推理
4.1.1逻辑公理
4.1.2推理
4.2推理细致分析定理
4.2.1演绎定理
4.2.2全体化定理
4.2.3常元省略定理
4.2.4等式定理
4.3逻辑结论
4.3.1可满足性
4.3.2真实性与模型
4.3.3逻辑结论
4.3.4基本问题
4.3.5范例
4.4一阶逻辑系统之完备性
4.4.1可靠性定理
4.4.2哥德尔完备性定理
4.4.3极大一致性
4.4.4自显存在特性
4.4.5可满足性定理
4.4.6扩展定理
4.4.7节省常元方法
4.5_A－哥德尔完备性定理
4.5.1谓词符省略引理
4.5.2函数符省略引理
4.5.3无关符号忽略定理
4.5.4前束范式
4.6练习
第5章同质放大模型
5.1紧致性定理
5.1.1关于有限之概念
5.1.2关于秩序之概念
5.2同质放大定理
5.3第二紧致性定理
5.4超积和超幂
5.4.1超滤子存在定理
5.4.2超积与超幂
5.4.3超积基本定理
5.4.4超积构造六例
5.5同质放大链
5.6练习
第6章完全性与模型完全性
6.1完全性
6.1.1等势同构
6.1.2有理数区间代数理论
6.1.3可数广集模型
6.2量词消去
6.2.1完全性充分条件
6.2.2T_odl适合量词消去
6.3子结构完全性
6.3.1T_odl具备子结构完全性
6.3.2T^d_BA具备子结构完全性
6.4模型完全性
6.4.1量词简化
6.4.2模型完全性与Π_2-理论
6.5练习
第7章可数模型
7.1类型排斥定理
7.1.1类型
7.1.2接纳与排斥
7.1.3例子
7.1.4根本型
7.1.5局部排斥型
7.1.6型排斥定理
7.2可数等势同构类型特征
7.2.1可数等势同构特征定理.
7.2.2可数模型的个数与Vaught猜想
7.3类型空间
7.3.1稳定性
7.3.2型与超滤子
7.4饱和模型
7.4.1有理数轴饱和性
7.4.2饱和结构
7.4.3可数饱和模型
7.4.4ω_1-饱和结构
7.5基本模型
7.6极度自同构模型
7.6.1非刚性与无差别元集
7.6.2自然数集合划分定理
7.6.3无穷无差别元子集模型定理
7.6.4内置斯科伦函数与斯科伦闭包
7.7练习
第8章代数封闭域理论
8.1代数封闭域同构分类
8.2代数封闭域适合消去量词
8.3ACF子结构完全性
8.4代数封闭域饱和特性
8.5复数域与特征为素数的代数封闭域
8.6练习
第9章实封闭域理论
9.1实数域公理化
9.2实封闭域理论与有序实封闭域理论
9.3有序实封闭域理论适合消去量词
9.4实封闭域模型完全性
9.5半代数子集
9.6练习
第10章有理数加法算术理论
10.1有理数加法群理论
10.1.1公理刻画T_dag
10.1.2T_dag-完全性
10.1.3T_dag强极小性
10.1.4T¹_dag-理论
10.1.5序可定义性问题
10.2有理数有序加法群理论
10.2.1公理刻画T_odag
10.2.2T_odag-完全性
10.2.3T_odag-序极小性
10.3练习
第11章整数加法算术理论
11.1多种整数加法算术理论
11.1.1六个结构
11.1.2三种公理化
11.2强整数加法群理论
11.2.1特征0模数同余加法群理论
11.2.2整数序不可定义性
11.3整数有序强加法群理论
11.3.1有序模数同余加法群理论
11.4普瑞斯柏格算术理论
11.4.1初等整数有序加法理论T_I
11.4.2非标准模型Z₀
11.4.3普瑞斯柏格算术理论T_pr
11.4.4T_pr之保守扩充
11.5练习
第12章自然数序理论与有序加法理论
12.1自然数序理论
12.1.1自然数序公理化
12.1.2半整齐模型
12.1.3自然数序之饱和模型
12.1.4自然数序理论完全性
12.2自然数有序加法理论
12.2.1有序强加法幺半群理论
12.2.2有序模数同余加法幺半群理论
12.2.3保守扩充T_oasg
12.3练习
第13章自然数算术理论
13.1初等数论
13.1.1初等数论之不完全性
13.1.2T_N与自然数Σ₁真相
13.1.3Σ₁真相定理之形式证明
13.2哥德尔第一不完全性定理
13.2.1序列数
13.2.2符号数与表示数
13.2.3基本逻辑概念表示
13.2.4逻辑公理谓词
13.2.5可计算性与递归函数
13.2.6有效公理化与可判定性
13.2.7可表示性
13.2.8哥德尔不动点引理
13.2.9哥德尔第一不完全性定理
13.2.10不可判定性与真相不可定义性
13.3哥德尔第二不完全性定理
13.3.1依定义扩充
13.3.2皮阿诺算术理论递归扩充
13.3.3T_PA递归扩充之Σ₁-完全性
13.3.4PA_f知道TPA之Σ₁完全性
13.3.5一个不可被TPA所证明的Π₁真语句
13.3.6形式化PA_f之证明
13.4巴黎-哈灵顿划分原理之独立性
13.4.1自然数压缩写像划分原理
13.4.2拉姆齐有限划分定理
13.4.3皮阿诺算术模型中无差别元子集
13.4.4巴黎－哈灵顿划分原理独立于皮阿诺算术理论
13.5练习
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目