数学物理方程

✍ Scribed by 吴方同

• Publisher: 武汉大学出版社
• Year: 2001
• Tongue: Chinese
• Leaves: 213
• Series: 面向21世纪本科生教材
• Category: Library

✦ Synopsis

《数学物理方程》是一门非常重要的大学基础课程，它不仅是数学类有关专业学生的必修课程，而且对理科非数学类专业的学生，该课程的主要内容也是必须掌握的。

《数学物理方程》的内容是：从实际问题出发，建立相应的数学模型（主要是以偏微分方程描述的模型），并对模型进行数学处理，求解和进行理论分析，然后解释实际现象，通过对一些典型问题的研究，揭示偏微分方程的一些带普遍性的思想方法和结论。本书在材料的取舍与安排上，充分考虑到读者学习知识的循序渐进性，对新概念的引入尽量不与经典理论的阐述脱节。所以在第一章介绍方程的推导之后，第二章通过求解一些典型问题的解阐述各种经典的求解方法，通过此章使读者对数学物理问题的解及适应性有些感性认识。第三章便自然引出偏微分方程的一般理论，接下来三章分别集中讨论三类典型方程的基本解以及各种定解问题的Green函数，先验估计式及能量方法等。最后第七章介绍广义解与变分方法。有兴趣的读者还可进一步学习这些方面的专门书籍。

✦ Table of Contents

前言
目录
第一章 数学物理方程的导出
1 引言
2 迁移方程导出数学物理方程
2.1 一般迁移方程
2.2 流体力学方程组
2.3 热传导方程
习题
3 Hamilton原理与数学物理方程
3.1 Hamilton原理与极小势能
3.2 变分问题的Euler方程
3.3 弦振动与膜振动方程
3.4 位势方程与极小曲面方程
习题
第二章 一些经典解法
1 无界弦的振动
1.1 D'Alembert公式
1.2 半无界弦的振动
习题
2 分离变量方法
2.1 两端固定弦的振动
2.2 常微分方程的本征值问题
习题
3 分离变量法的实例
3.1 热传导方程第二边值条件的初边值问题
3.2 圆域上的Laplace方程的Dirichlet问题
习题
4 特征方法
4.1 一阶线性偏微分方程
4.2 一阶拟线性偏微分方程
习题
5 特征方法在非线性问题中应用举例
5.1 人口分布问题
5.2 交通流问题
习题
第三章 偏微分方程的一般理论
1 一般概念与适定性
2 Caychy-Kowalewski定理
3 Hadamard的反例与Lewy的反例
3.1 Hadamard的反例
3.2 Lewy的反例
4 方程的分类
习题
5 两个自变量二阶方程的简化
习题
6 叠加原理与齐次化原理
6.1 叠加原理
6.2 Duhamel原理
习题
第四章 椭圆型方程
1 广义函数的概念
1.1 集中分布
1.2 广义函数的定义
1.3 广义函数的导数
1.4 广义函数的支集
习题
2 基本解与Green函数
2.1 基本解
2.2 Green函数
习题
3 应用Geen函数求定解问题例
习题
4 极值原理
习题
5 第二边值问题解的唯一性
习题
6 调和函数的性质
习题
第五章 抛物型方程
1 广义函数的Fourier变换
习题
2 Cauchy问题
2.1 热传导方程的基本解
2.2 Cauchy问题
习题
3 初边值问题的极值原理
习题
4 Cauchy问题的先验估计
习题
5 热传导方程初边值的问题Green函数
习题
第六章 双曲型方程
1 基本解及Cauchy问题
1.1 波动方程的基本解
1.2 Cauchy问题的解
习题
2 降维法、Huygens现象
2.1 降维法
2.2 Huygens现象
习题
3 能量积分及唯一性与稳定性
3.1 初边值问题的能量积分
3.2 Cauchy问题的能量不等式
习题
4 特征概念
习题
第七章 变分方法及广义解
1 Hilbert空间及Sobolev空间
1.1 Hilbert空间
1.2 Riesz表示定理
习题
2 广义解
习题
3 广义解的适定性
习题
4 近似解法
4.1 Ritz方法
4.2 Galerkin方法
4.3 进一步的应用
习题
5 有限元方法介绍
习题
附录 Sturm-Liouville问题