数学与哲学

✍ Scribed by 张景中

• Publisher: 大连理工大学出版社
• Year: 2008
• Tongue: Chinese
• Leaves: 206
• Series: 数学科学文化理念传播丛书
• Category: Library

✦ Synopsis

本书分11章探讨了数学与哲学上的许多问题。如，变与不变，数与量，相同与不同，事物变化的连续性等等，既阐述了数学与哲学这两大学科各自的特点，又从多方面论述了哲学研究与数学研究的密不可分性；以生动的实例说明了哲学家是如此重视数学，而数学又始终在影响着哲学。在研究了古代和当代的主要哲学家和数学诸流派的各种观点之后，作者讲述了自己的许多独到的见解。最后一章，“数学与哲学随想”，是作者多年来研究的心得与体会。

一 “万物皆数”观点的破灭与再生

——第一次数学危机与实数理论

1.1 毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数

1.2 第一个无理数

1.3 无理数之谜

1.4 连续性的奥秘

1.5 戴德金分割

1.6 连续归纳原理

1.7 “万物皆数”的再生

二 哪种几何才是真的

——非欧几何与现代数学的“公理”

2.1 欧几里得的公理方法

2.2 欧几里得的几何定理是真理...

本书分11章探讨了数学与哲学上的许多问题。如，变与不变，数与量，相同与不同，事物变化的连续性等等，既阐述了数学与哲学这两大学科各自的特点，又从多方面论述了哲学研究与数学研究的密不可分性；以生动的实例说明了哲学家是如此重视数学，而数学又始终在影响着哲学。在研究了古代和当代的主要哲学家和数学诸流派的各种观点之后，作者讲述了自己的许多独到的见解。最后一章，“数学与哲学随想”，是作者多年来研究的心得与体会。

一 “万物皆数”观点的破灭与再生

——第一次数学危机与实数理论

1.1 毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数

1.2 第一个无理数

1.3 无理数之谜

1.4 连续性的奥秘

1.5 戴德金分割

1.6 连续归纳原理

1.7 “万物皆数”的再生

二 哪种几何才是真的

——非欧几何与现代数学的“公理”

2.1 欧几里得的公理方法

2.2 欧几里得的几何定理是真理吗

2.3 非欧几何的发现

2.4 哪一个是真的

2.5 公理是什么

三 变量无穷小量的鬼魂

——第二次数学危机与极限概念

四 自然数有多少

——数学中的“实在无穷”概念

五 罗素悖论引起的轩然大波

——第三次数学危机

六 数是什么

——对数学对象本质的几种看法

七 是真的，但又不能证明

——哥德尔定理

八 数学与结构——布尔巴基学派的观点

九 命运决定还是意志自由

——必然性与偶然性的数学思考

十 举例子能证明几何定理吗

——演绎与归纳的对立与统一

十一 数学与哲学随想

……

✦ Table of Contents

封面
书名
版权
前言
目录
一 “万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论
毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数
第一个无理数
无理数之谜
连续性的奥秘
戴德金分割
连续归纳原理
“万物皆数”的再生
二 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理”
欧几里得的公理方法
欧几里得的几何定理是真理吗
非欧几何的发现
哪一个是真的
公理是什么
三 变量·无穷小·量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念
数学怎么描述运动与变化
瞬时速度
微分是量的鬼魂吗
无穷小量的再生
四 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念
伽利略的困惑
康托，闯入无穷王国的先锋
希尔伯特的“无穷旅店”
所有的无穷都一样吗
自然数究竟有多少
五 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机
逻辑——集合——数
罗素悖论
集合的层次理论
集合论的公理化
连续统假设
地平线仍在前方
六 数是什么——对数学对象本质的几种看法
1是什么
柏拉图主义——数存在于理念世界
唯名论观点——数是纸上的符号或头脑中特定的概念
康德：数是思维创造的抽象实体
约定论的观点——数学规则不过是人的约定
逻辑主义——算术是逻辑的一部分
直觉主义——数学概念是自主的智力活动
形式主义——把数学化为关于有限符号排列的操作
七 是真的，但又不能证明——哥德尔定理
哥德尔定理
说谎者悖论与理查德悖论
算术有多少种
数学的力量与局限
八 数学与结构——布尔巴基学派的观点
在逻辑长链的背后
形形色色的加法
基本的结构
分析与综合的艺术
九 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考
两种对立的哲学观点
从偶然产生必然
从必然产生偶然
一场风或一口痰能影响民族的命运吗
什么叫必然什么叫偶然
十 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一
例证法——用演绎支持归纳
几何定理也能用例子证明
进一步的思考
十一 数学与哲学随想
数学的领域在扩大哲学的地盘在缩小
数学始终在影响着哲学
抽象与具体
涉及具体问题时语言必须精确严格
个别与一般
事物与概念
“我不需要这个假设”
证实与证伪
数学世界是人的创造但它是客观的
事物的总体性
变化中的不变
预言
“没有两件事物完全一样”
物极必返
量变与质变
罗素与“事素”