探検！数の密林・数論の迷宮

✍ Scribed by 橋本喜一朗

• Publisher: 日本評論社
• Year: 2017
• Tongue: Japanese
• Leaves: 300
• Category: Library

✦ Table of Contents

序
第1章　数の密林・生い茂る素数
素数の無限性
フェルマー数の森
メルセンヌ数の森
「素数の無限性」：オイラーの証明
第1章の予備知識
第1章の問題
第2章　迷宮！ シルヴェスター数の森
探検課題：互いに素な正整数の組
シルヴェスター数の森の探検
「鏡の森」のシルヴェスター
第2章の問題
第3章　数の森の F-位相
素数の無限性：「位相」による証明
素数が定める Z の位相
解明： Z の F-位相
中国式剰余定理
素数の無限性： J-根基による別証明
第3章の問題
第4章　整数の極限=End の構造
(-1)x(-1)=+1 の証明？？
可換群の自己準同型環
巡回群の自己準同型環
Q/Zの自己準同型環
射影極限
射影極限とp進整数環
アデール環と近似定理
第4章の問題
第5章　p進数の森とヘンゼル
p進整数 Z_p（復習）
p進数のp進展開表示
p進2次無理数
ヘンゼルの補題
定理5.2の証明
第5章の問題
第6章　p進数の森とガロア
既約多項式と根体
体の付値と付値環
p進付値の延長と一意性
Q_p のガロア拡大と可解性
有限体の代数拡大
定理 R の証明
第6章の補足：方程式のガロア群
第7章　多項式の樹林とニュートン
ニュートン多角形
定理7.1の意味と別証明
2項係数と指数関数多項式
第8章　迷宮（？）パスカルの三角形
不思議の森（？）パスカルの三角形
「還元鏡」で見るパスカルの三角形
2項係数の2進付値
v_p(\dbinom{n}{i}) のフラクタル性
第8章の問題
第9章　ゼータの森の水脈
ゼータの値と2項係数の逆数和
数列のm階差分公式
\dbinom{2n}{n} の大きさの評価
スターリングの公式
無限級数のオイラー変換
等式(9.1)の証明
等式(9.2)の証明
ζ(3) の級数表示とアペリの恒等式
ζ(4), ζ(5) の級数表示と2項係数
第10章　無理数の森・連分数の小径
出発の前に
無理数（＝通約不能量）の発見
\sqrt{2} の通約不能性
「無理数」の森の奥行き
「互減法」から「連分数」ヘ
「無理数」の連分数展開
循環連分数と2次無理数
連分数の幾何学
「連分数」とモジュラー群
eの連分数展開
eの異なる定義
第11章　未踏の樹海：関数項の連分数
一般連分数
べき級数の一般連分数表示
ガウスの超幾何級数と連分数
初等関数とその連分数展開
ラマヌジャンの連分数
第12章　双眼鏡（バイナリスコープ）で見る素数の森
正整数の2進展開と2項分布
2進展開でみる素数の分布
f_p(X) の既約性
第13章　森の広場（スクェア）：素数たちの饗宴
素数の学校の「クラス分け」
「平方数」： F^2 = ふたりの「F」
平方剰余記号
第1証明：無限降下法
第2証明：ガウスの整数環
第3証明：ヤコブスタールの定理
楕円曲線と F_p -有理点
再訪：ヤコブスタール和
「平方」： L^2 =2つの 「L-関数」
Hasse-Weil の「評価式」
第4証明： 2項係数 \dbinom{2n}{n} 再登場
第5証明：互除法と連分数
第6証明：ガウス和・ヤコビ和を用いる
平方剰余の「相互法則」
索引