数の体系 (上)・(下)

✍ Scribed by 彌永昌吉

• Publisher: 岩波書店
• Year: 1972, 1978
• Tongue: Japanese
• Leaves: 482
• Series: 岩波新書
• Category: Library

✦ Table of Contents

[岩波新書]彌永昌吉、数の体系(上)、1972
まえがき
目次
I 数学の歴史から
学問の性格
純粋数学のはじまり
“原論"と証明
“原論"の第VIl巻から
上への説明
除法の原理
“原論"の数論
“原論"第V巻から
無理数の発見
第V巻定義5への説明
カントルとデデキント
II 集合，写像，構造
集合とは？
集合の記法(1)
集合の記法(2)
2つの集合の共通部分と和集合，差集合
2つの集合の直積
2つの集合の元の間の関係または対応
逆関係または逆対応
関係または対応の例
もう1つの図示法
写像とは？
‘関数‘ということばと関数記号
関数記号の用い方の拡張
到着集合の部分集合の原像または逆像
写像の逆対応がまた写像となる場合，全単射
写像の合成
全射，単射，全単射について
構造をもつ集合
III 自然数
自然数の基本的な性質
以上の検討
公理的立場
以上の公理への説明
直後の元，直前の元
数学的帰納法
公理Vの1つの応用例
自然数の加法
自然数の乗法
別証と注意
自然数の順序
自然数の減法と除法（あまりのない場合）
自然数の整列性
整商と剰余
0の導入
\bar{N} における順序，減法，除法
IV 有限集合
前章までの復習と本章の目標
区間の記法
区間の写像に関する基本定理
有限集合と無限集合
集合の元の有限列または無限列
有限全順序集合について
ふたたびNの整列性について
結合系における有限列について
可換結合系における有限列について
有限集合の和集合，直積集合
列の項の重複度と抽き出し論法
ふたたび可換結合系における有限列について
単調列と鎖律
一般分配法則
本質的には有限な列
m進記数法
正則半環における減法，除法
ユークリッドの互除法
素数と合成数
素因数分解の一意性
素数の集合
標準分解
偶数の完全数
ペアノの公理の定型性
付録 集合論のパラドックスと数学基礎論
はじめに
カントルの集合論の第1論文
カントルの証明
集合論の発展
集合論のパラドックス
論理と集合論の再検討
数学基礎論の問題
本文への補足
[岩波新書]彌永昌吉、数の体系(下)、1978
目次
I 整数
この章の目標
半群と群，逆元または対称元
群について
加群，順序加群
半加群，順序半加群，(N)-型半加群
(N)-型半加群への順序の導入と単位元の添加
(N)-型半加群の対称化
半環，順序半環，環，順序環
(\bar{N})-型半環とその対称化
Zにおける減法と除法
若干の補足
この章のまとめ
II 有理数
この章の目標とプログラム
同値関係と同値類
分類の例
Z mod m の分類
同値関係と算法との両立
直積代数系の考え
正則可換半群の対称化
正の分数の乗法群
約分と通分
正の分数の半加群
有理数体
(\bar{N})-型半体とその対称化
整域と体
整域の標数，有限体
素体
この章のまとめと若干の補足
III 実数
発見的考察
デデキントの考え
有界単調列の収束の原理
はめこまれた閉区間の原理
稠密全順序集合とその稠密な部分集合
稠密全順序集合の D-拡大
ユークリッドとデデキント
切断の下組
稠密順序加群とその D-拡大の一意性
実数の加法
上限と下限
順序加群のアルキメデス性
D-型順序加群の公理の定型性
R^+ と \tilde{Q}^+
R^+ における乗法
D-型順序体の公理の定型性
アルキメデス的順序体
実数体の特徴づけ
実数体のもう1つの特徴づけと正項級数の基本定理
実数のm進表示
連続帰納法
D-系における連続関数と中間値の定理
ε-δ 論法
実数体における多項式関数と有理関数
(R ; + ; <=) の自己準同型
(R ; +) の連続自己準同型
(R ; +) から (R^+ ; ×) への連続準同型
付録 複素数まで
はじめに
位相的概念について
2つの補助定理
距離空間
近傍，内点，外点，境界点
収束，極限，連続写像
同値な距離関数
完備な距離空間
有界，全有界
コンパクト空間
連結空間
多項式環
環の準同型とイデアル
多項式の既約元への分解
体の代数拡大
Qの完備化，カントルの方法
複素平面，いわゆる代数学の基本定理
参考書
あとがき
年表
用語表