GELPAND und KOLMOGOROFF [l] haben bewiesen, daf3 jeder bikompakte T2-Raum durch den Ring aller auf ihrn stetigen reellen Funktionen bis auf Homoomorphie eindeutig bestimmt wird. In dieser Note sol1 nun gezeigt werden, daB auch fur alle n-ma1 stetig differenzierbaren (0 < n 2 + 00) Mannigfaltigkeiten %TI , , ein analoger Satz abgeleitet werden kann. Dies beruht darauf, daf3 sich die Mannigfaltigkeitsstruktur von W, mit Hilfe eines Unterringes D, von 0, (W,)l) definieren 1&Bt, dessen maximale Ideale eineindeutig den Punkten aus %TIfl entsprechen.
1. Ein geordnetes
Paar [ E , D,] , bestehend aus einem lokalbikompakten T,-Raum E und einer Teilmenge D, von &,(E) heiBe ein n-Raum (0 5 n 2 fm), wenn die drei folgenden Axiome gelten : I. Zu zwei verschiedenen Punkten p,, p , aus E gibt es stets ein festes f aus D, mit der Eigenschaft f(pl) + f(p,), d. h. D, trennt E . 11. Zu jedem p aus E gibt es wenigstens ein f aus E, welches im Punkte p von Null verschieden ist, d. h. D, verschwindet nirgends identisch.
- 1st Q, irgendeine mindestens n-ma1 stetig differenzierbare Abbildung des R"in den R1, welche den Nullpunkt auf die Null abbildet, und sind f, , . . . , f, irgendwelche Funktionen aus D, , so liegt auch die zusammengesetzte Funktion Q, (f,, . . . , f,) in D, .
Offenbar wird jeder lokalbikompakte il',-Raum E durch &,(E) und jede n-ma1 stetig differenzierbare Mannigfaltigkeit YJl, durch die Gesamtheit aller n-ma1 stetig differenzierbaren Funktionen aus (5,(!J,JIn) zu einem 0-Raum bew. zu einem n-Raum erganzt. Insbesondere kann also der R m stets als ein n-Raum angesehen werden. Aus Axiom I und I1 folgt, daf3 es zu zwei verschiedenen Punkten p und q stets eine Funktion f E D mit f(p) =i = f ( q ) , f(p) + 0, f ( q ) =+ 0 gibt.
Zum Beweis wahlt man eine Funktion r E D mit r ( p ) =+ 0, eine Funktion s E D mit s ( q ) + 0 und eine Funktion t E D mit t ( p ) + t ( q ) aus. Dann befindet 1) Mit 0, (E) hezeichnen wir die Gesamtheit derjenigen stetigen reellen Funktionen iiher einem topologischen Raum E, welchr auaerhalb von passenden hikompakten Teilmengen yon E identisch verschwinden.