Einleitung. Untersuchungen zum isoperimetrischen Problem im Raum schon im vergangenen Jahrhundert zeigten, da13 die Losungsflache eine Flache mit konstanter mittlerer Kriimmung ist. Die Kugeln sind also Flachen mit dieser Eigenschaft. Es ist jedoch bis heute unbekannt, ob die Kugel die einzigen geschlossenen, orientierbaren Flachen mit konstanter mittlerer Kriimmung sind. Die wichtigsten Teillosungen zu diesem Problem lieferten H. LIEBMANN [l], der zeigte, da13 unter der Annahme positiver GAussscher Kriimmung eine Kugel vorliegt, H. HOPF [2], der nur noch eine topologische Kugel voraussetzte, uiid A. D. ALEXANDROV [3], der zeigte, da13 eine Kugel vorliegt, falls die Flache keine Selbstdurchdringungen hat.
Diese Versionen des ,,H-Satzes" beziehen sich auf geschlossene, orientierbare Flachen im dreidimensionalen euklidischen Raum. LaBt man bei den Betrachtungen jedoch auch geschlossene Flachen mit hoherer Kodirnension zu, wobei der 13egriff , ,konstante mittlere Krummung" geeignet zu verallgemeinern ist, so zeigt sich, da13 es neben den Kugeln noch weitere solche Flachen gibt. Bei einem moglichen Beweis des H-Satzes wird also die Kodimension und auch die Orientierbarkeit eine wichtige Rolle spielen.
In dieser Arbeit sol1 gezeigt werden, welche weiteren Flachen bei beliebiger Kodimension auftreten, wenn man die Voraussetzung von H. LIEBMANN geeignet verallgemeinert . pl : M ,E ,+ m eine isometrische Immersion in den euklidischen Raum mit der Kodimension rn. Bei allen lokalen Betrachtungen konnen wir pl als Einbettung auffassen und s o p C M , mit pl(p) E E , +m identifizieren. Auf diese Weise konnen wir den Tangentialraum T,(M2) als Untervektorraum von Tp(E2+m) ansehen. Der Norrnalenraum T P ( M 2 ) l ist das orthogonale Komplement von T J M , ) in Tp(E2+,J. Mit { E i , E,, el, . . . , em} wollen wir eine ,,an-gepal3te" Orthonorrnalbasis in Tp(E2+,,,) bezeichnen, d. h. { E i , E,} ist Basis in T J M , ) , und {ei, . . . , em} ist Basis in T P ( M 2 ) l . Auf dieselbe Weise werden wir auch Vektorfelder bezeichnen, die durch geeignete Fortsetzung auf eine Umgebung U ( p ) entstehen.
Bezeichnungsweise und Grundformeln. M 2 sei eine zweidimensionale Riernannsche Mannigfaltigkeit und
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