IMPLIKATIVE BCK-ALGEBREN
von KLAUS DENECKE in Thale (DDR)')
1. Einleitung
Ini Jahre 1966 fuhrten Y. IMAI und K. ISEKI eine neue Klasse von Algebren ein, die sie BCK-Algebren nannten ([Z]). Dieser Begriff ist in zwei verschiedenen mathematischen Disziplinen entstanden, der Mengentheorie und der mathematischen I n der Mengentheorie kann man als Fundamentaloperationen Vereinigung, Durchschnitt und Mengendifferenz betrachten. Die Verallgemeinerung dieser uberlegungen fuhrt auf die Theorie Boolescher Algebren. Nimmt man nur Vereinigung und Durchschnitt, so ergibt sich die Theorie distributiver Verbande. Die alleinige Verwendung der Vereinigung oder des Durchschnitts fuhrt auf Halbverbande. Eine weitere Moglichkeit besteht darin, die Mengendifferenz und &re Eigenschaften als Ausgangspunkt zu wahlen. Das fuhrte zur Untersuchung von BCK-Algebren.
Einc andere Motivation ergibt sich aus dem klassischen und aus nichtklassischen Aussagenkalkulen. Es wurden verschiedene Systeme betrachtet, die einen Implikationsfunktor als eiiizigen logischen Funktor enthalten. Ein Beispiel ist die klassische implikative Logik; sie bildet den Teil der klassischen Logik, zu dem alle Ausdrucke gehoren, in denen als einzige Aussagenverbindung die Implikation vorkommt, genauer, ein Ausdruck, in dem kein anderer als der Implikationsfunktor vorkommt, ist genau dann im klassischen implikativen Aussagenkalkul ableitbar, wenn er im klassischen zweiwertigen Aussagenkalkul ableitbar ist. Weitere Beispiele sind der positiv implikative Aussagenkalkul, d. 11. der Teil des intuitionistischen Aussagenkalkuls, der allen Ausdrucken entspricht, in denen die Implikation als einzige Verbindung vorkommt ([l]), der schwach positiv implikative Kalkiil von A. CHURCH und BCI-, BCK-Systeme von C. A. MEREDITH (siehe A.N. PRIOR 171).
Nach der Definition der BCK-Algebren und einiger spezieller Klassen von BCK-Algebren werden als Beispiele alle zwei-und dreielementigen BCK-Algebren angegeben. Dann wird die Varietat (gleichungsdefinierte Klasse) der implikativen BCK-Algebren definiert und bewiesen, dalJ diese Varietat von der einzigen zweielementigen BCK-Algebra erzeugt wird, d. h., jede Algebra dieser Varietat l a B t sich als homomorphes Bild einer Teilalgebra einer direkten Potenz der zweielementigen BCK-Algebra angeben. Diese Tatsache begrundet den Nachweis der Allgemeingiiltigkeit eines Ausdrucks des klassischen implikativen Aussagenkalkuls mit Hilfe der Wahrheitswerttabellenmethode.
Der Nachweis weiterer algebraischer Eigenschaften IaiBt den SchlulJ zu, daBmit gewissen Unterschieden -die zweielementige BCK-Algebra in der VarietLt der implikativen BCK-Algebren eine ahnliche Rolle spielt wie die zweielementige Boolesche Algebra in der Varietat der Booleschen Algebren.
Logik.
Herrn Professor KIYOSHI ISEKI zum GO. Geburtstag gewidmet.