DARSTELLUNG DER LEWYSCHEN ALGEBREN von DIETRICH SCHWARTZ in Berlin (DDR) EPSTEIN und HORN [l] entwickelten die Theorie der Lewyschen Algebren in der Absicht, mit algebraischen Mitteln in uniformer Weise eine KIasse voii grundlegenden Aussagenlogiken zu charakterisieren.l) Das Ziel der vorliegenden Untersuchung, die uiimittelbar an diese Ergebnisse anschliefit, ist der Aufbau einer Darstellungstheorie der Lewyschen Algebren. Zu diesem Zweck fuhrrn wir augmentierte Kripke-Systeme ein und definieren mit ihrer Hilfe die Lewyschen Mengenalgebren. Das Hauptergebnis ist ein Darstellungstheoreni fur Lewysche Algebren, demzufolge jede Lewysche Algebra zu einer Lewyschen Mengenalgebra uber einein augmentierten Kripke-System isonlorpli ist.2) AbschlieBend behandeln wir die Lewysche Aussagenlogik. Fur die Semantik der Lewyschen Aussagenlogik auf der Grundlage endlicher augmentierter Kripke-Systeine wird ein Vollstandigkeitsbeweis in %7erallgemeinerung der Methode von SCHUTTE [7, 4 151 durchgefuhrt. Wir begiiinen mit einigen grundlegenden Definitionen. Dazu sei ' 2( = [ A , + , ., -+, 0 , 11 eine Algebra mit den zwcistelligen Operationen +, . und -+ sowie den nullstelligen Operationen 0 und 1 . Fur alle a, b E A sei a 5 b genau dann, wenn a . b = a. Die folgende Begriffsbildung stammt von EPSTEIN und HORN [ 11. ?I = [ A , + , ', -+, 0, 11 ist genau d a m eine Lewysche Algebra, wenn die folgendeii Bedingungen erfiillt sind : (1) 91' = [ A , + , ., 0, I] ist ein distributiver Verband mit dem Nullelement 0 und dcm Einselement 1 .
( 2 ) Fur alle a, b, c
Im folgenden Beispiel sol1 eine wichtige Klnsse von Lewyschen Algebren besprochen werden. Dazu benotigen wir vorbereitend den Begriff des augmentierten Kripke-Systems. 9 ' = [Q, U, V] ist genau dann ein augmentiertes Kripke-System, wenn U und V reflexive und transitive Relationen uber der Menge Q sind, so daD U E V.
Es sei 9 ' = [Q, U, v] ein augmentiertes Kripke-System. Eine Menge CD E 9 ist geiiau dann U-abgeschlossen, wenn U(@) E @, wobei U(@) die Menge aller y E Q ist, zu denen es ein x E CP gibt, so dalj xUy. Es bezeichiie M y die Menge aller U-abgeschlossenen l) EPSTEIN und HORN verwenden fur die von ihnen eingefuhrten Algebren, die wir hier ,,Lewysche 2, Vgl. hierzu auch FITTING [2]. Siehe ferner die Betrachtungen von LEMMON [4], [5] zur niodalen a) Vgl. die lehrbuchmLDige Darstellung der algebraischen Semantik der intuitionistischen Sus-Algebren" nennen, die Bezeichnung ,,subresiduated lattices". Logik. sagenlogik durch RASIOWA-SIKOHSKI [6].