Es sei f ( x ) die Distnnzfunktion eines konvexen Korpers K: f ( x ) S 1 mit Mittelpunkt im R,(m 2 2). Sein Volurnen bezeichnen wir mit V ( K ) . Es sei weiter G(t) eine fur t > 0 positive, monoton nbnehmende Funktion mit limQ(t) = + 00 und p (2) eine Funktion 2 0 Es fuhren dann Probleine iius der Geometrie der Zahlen nuf Summen wie z. B.
wo die xi Punkte ~L U S K sind, welche in endlicher Anzahl vorhunden sein mogen, und a ein beliebiger Punkt des R,, ist, und man hat nun die Aufgabe, (1) durch
wenn es existiert, sbzuschiitzen. Wir werden zeigen, daB (1) kleiner als (2) ist fur alle a , ausgenoniriien eine Menge, welche sich durch konvexe Korper K i : f ( z -ai) ti so iiberdecken la&, dal3 ist. Wir werden weiter zeigen, dnIj (1) auch dann durch Integrale abgesohiitzt werden kann, wenn (2) divergent ist, wie dies z. B. fur
Fall ist. Beim Beweis dieser Behauptungen werden wir weitgehend einer Methode von AHLFOFS~) folgen, und zwtr in der gleichen nligemeinen Fassung. 8 1. Wir beweisen zuniichst folgenden Hilfssiitz : Hilfssaiz 12). E.s sei eisie endliche Menge urn Emvexen Korprn f (xpi) d ti geqeben. l h sei stets f ( p ipi) 2 max (ti , t j ) (i $: j ) , d. h. mil 0 < to t, -l ) 1, . AHLFORS, Ein Satz von H. Cartan und seine Anwendung auf die Theorie der ineromorphen Funktionen. Comment8. phys.-math. SOC. Sci. Fennica 3 (1931), Nr. 16; vgl.