Zum Begriff der Axiomatisierbarkeit. Herrn Professor Dr. Erhard Schmidt zum 75. Geburtstage als ein Symbol der Verehrung und Dankbarkeit der Sechule von Münster
✍ Scribed by Hans Hermes
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1950
- Tongue
- English
- Weight
- 408 KB
- Volume
- 4
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Man
I n ~f i zwei Axiomatisierbarkeitsbegriffe unterscheiden, die man semantische oed syntaktische Axiomatisierbarkeit nennen kann. Es wird gezeigt, daB die syn-tdJrtis&e Axioniatisierbarkeit gleichbedeutend ist mit der effektiven Aufziihlbar-~t . Man kann eine solche Axiomatisierung stets durchfiihren mit einer einzigen &Muoregel (mit einer Priimisse) und kann dabei noch jeden beliebigen Satz als (*iges) Axiom wiihlen. 1. Die euklidische Geometrie ist das klassische Beispiel einer axioniatisier-&en Wissenschaft. .Sie ist axiomatisierbar in folgendem Sinne: Es lassen sich mdioh viele geometrische Satze angeben, die in diesem Zusztmmenhang ein Axiomensystcm heiBen, so daB die Menge aller geometrischen Siitze iibereinstimmt mit der Menge dcr Folgerungen des Axiomensystems1). Diem Charakterisierung ist noch ungenau, solange man nicht angibt, wann eine Aussage eine FoZgerung der Axiome hei Ben soll. Zu einer exakten Definition des Folgerungsbegriffes wird m n insbesondere dann gezwungen, wenn man zeigen will, dal3 eine bestimmte bumage nicht a11 s vorgegebenen Axiomen f olgt . Eine derartige Unabhhgigkeitsfrsge wurde i i i i Palle des Parallelenpostulates zuerst von BBLTR,AB@) einwandfrei entschieden. Beltrami gab ein ModeZZ (eine Deutuag, Interpretation) der iibrigen Axiome, welches das Parallelenpostulat falsifizierte. Dieses Verfahren bt beweiskriiftig, wenn man die geometrischen Grundrelationen (liegt auf, . . .) 818 Variablen iirid damit die geometrischen Aussagen als Awsagefurrnen auffal3t und wenn man folgende Definition anerkennt: Eine Aussageform H ist eine pdgerung einer vorgegebenen Menge XQ von Aussageformen, falls jedes Model1 Yon f l auch ciri h1odell von H ist. Dies steht bereits ausfiihrlich in der seinerzeit unhchteten ,,'IVissenschaftslehre" von BOLZANO~). Unabhiingig davon hat '1 Zur Formulitnmg des Vollstiindigkeitsaxiomes vgl. CARNAP-BACHMANN, tzbw Exb a l a x i o m c . Erkcnntnis 6 (1936), 166-188. ' 1 BELTRAMI, Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea. Giorn. Mat. Bat-