Über die Konvergenz von Reihen orthogonaler Polynome. Herrn Professor Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag gewidmet

✍ Scribed by BÉLa Sz.-Nagy

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1950
• Tongue: English
• Weight: 324 KB
• Volume: 4
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.3210040107

✦ Synopsis

Es sei { q n ( z ) } ein auf der mel3baren Menge M definiertes normiertes Orthogonalsystem. Nach einem bekannten Satz von RADEMACHER und MENCHOFF~) ist die Reihe fast uberall auf M konvergent fur jede Folge von (reellen) Koeffizienten {cn) , C cn v n (2) die der Bedingung genugt. I n diesem Satze konnen die ,,Konvergenxfaktoren" log2n im allgemeinen durch keine anderen, weniger rasch wachsonden ersetzt werden. Es gibt namlich nach MENCHOFP~) ein normiertes Orthogonalsystem { q n (2)) von der folgenden E-rpnqchaft: Zu jeder Folge von positiven Zahlen ;En rnit An 2 0 (log2 n) lii13t sich eine Koeffizientenfolge {cn} derart bestimmen, da13 gilt und die Reihe doch uberall divergiert. Die von Menchoff konstruierten Funktionen yn (2) sind sogar Pol ynome , die auf der Grundmenge M (ein endliches lineares Intervall) unter einer gemeinsamen Schranke bleiben : I F n ( 5 ) 1 ~ C (n = 1 , 2 , . . . ; x € M ) .

Es gibt aber besondere normiei te Orthogonalsysteme, die auch solche Konvergenzfaktoren ,zulassen, die weniger rasch als log2 n wachsen, so vor allem das trigonometrische System, fur das schon logn ein Konvergenzfaktor ist3). Das 1) Siehe z. B. S. KACZMARZ und H. STEINHAUS, Theorie der Orthogonalreihen. Wara) D. ~N C H O F F , Sur lea multiplicateura de convergence pour les sbiies de polynomes s, Satz von KOLMOGOROFF, SELIVERSTOVF und PLESSNER, siehe z. B. A. ZYQMUND, szctwa-Lwdw 1935, s. 164.