E~ gibt i r i der Theorie der harmonischen und analytischen Funktionen der E b n e cine Reihe von Satzen, die sich auf allgemeine Riemannsche Flachen iibertrngell lassen. I m folgenden sol1 dies mit einem Beispiel aus der Theorie des lognrithmischen .Potentials beleuchtet werden.
Wenn i n einem offenen Gebiet CJ der komplexen Ebene eine eindeutige, regu-&re potentidfunktion u gegeben ist, so kann man sich fragen, unter welchen Umstiinden u als Differenz von zwei h a l b b e s c h r i i n k t e n Potentialfunktionen u1 und ~2 darstellbar ist ; es bedeutet keine weitere Einschriinkung, zu verlangen,
n e g a t i v sind. Das Problem ist vollstiindig gelost worderi unter der Voraussetzung, da13 U eine Greensche Funktion hat oder, was nach einem Satz von MYRBERC damit gleichbedeutend ist, da13 die Randkapaqitat von G positiv istl). wrtragung dieses Zerlegungssatzes auf eine beliebige Riemanusche Flache bietet keine prinzipiellen Schwierigkeiten. Da aber diese Erweiterung zur En t sch e i clung einiger neueren Fragen iiber die f unktio nent heoret ische Struk tur gewisser 1Wchenklassen beitriigt, ist es vielleicht am Platze, das Problem in der allge~ii~iiien Fassung zu untersuchen. 5 1. Der Zerlegungssatz. Die 1. Problemstellung. Es sei die Riemannsche Fliiche R gegeben als eine kon-1. R ist pine Punktmenge, in der gewisse ausgezeichnete Teilmengen K vor-2. Die Mengen K genugen den Axiomen von HAUSDORFF. 3. -Jede Menge K ist mit einer offenen Kreisscheibe Kz (Pnrameterkreis) der korriplesen z-Ebene homoomorph. 4. Die Heziehung, durch welche die einem Fliichenpiinkt zugeordneten ParaIiirterpunkte in zwei verschiedenen Parameterkreisen verkniipft sind, ist direkt konform. AulJerderii setzen wir voraus, da13 R zusammenhiingend ist, obwohl dies fur die folgendv Untersuchung nicht wesentlich ist. form zusammenhangende zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Das bedeutet : gegdw 11 si nd. ') Vgl. z. R.' die Darstellung in meiner Monographie: Eindeutige analytische Funktionen. Berlin 1930.