Das Axiomensystem von Erhard Schmidt für die Menge der natürlichen Zahlen. Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag gewidmet

✍ Scribed by Hans Rohrbach

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1950
• Tongue: English
• Weight: 591 KB
• Volume: 4
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.3210040128

✦ Synopsis

Man kennt mehrere Axiomensysteme der elementaren Arithmetik, mit deren mlfe sich die Menge % der natiirlichen Zahlen charakterisieren und der Aufbau d a Zahlerisystems vollziehen lafit. Das bekannteste ist das von R. DBDEKIND~) aagegebene Axiomensystem, das meist nach G. PEA NO^) benannt wird, der ihm die gelaufige Formulierung gegeben hat : 1 ist eine naturliche Zahl. Zu jedem n der wider xu 8 geh2irt. Stets ist nf =/= 1 , Die Nachfolger xweier versehiedenen naturlichen Zahlen sind voneinander versehieden. Eine Menge naturlicher Zahlen, die 1 und mit n stets auch nI enthalt, um-/apt alle naturlichen Zahlen.

8 gibt es gemu einen Nachfolger (er sei mit nr bexeichnet), Urspriinglich hatte Peano diesen Axiomen noch einige uber die Gleichheit natiirlicher Zahlen hinzugefugt 3). Von diesen kann man absehen, wenn man Gleichheit stets im Sinne logischerldentitiit verwendet. Dann enthalt das Axiomensystem (A) nur die Grundbegriffe Eins, naturliche Zahl und Nachfolger. Diese drei Grundbegriffe sind aber nicht unabhiingig voneinander. Es ergeben sich daher Vereinfachungen, wenn man den einen oder anderen dieser Grundbegriffe ehminiert .'L. NEDER4) hat das Axiomensystem (A) so formuliert, daB (abgesehen von der Gleichheit) 'nur naturliche Zahl und Nachfolger auftreten, und in der Modifikation von F. BsCHMANN 6 , ist sogar nur die Nachfolgerrelation erforderlich. ') R. DEDZEIND, Was sind und was sollen die Zahlen P Braunschweig 1888 (= Geeammelte