非线性波动方程的现代方法

✍ Scribed by 苗长兴

• Publisher: 科学出版社
• Year: 2010
• Tongue: Chinese
• Leaves: 402
• Series: 现代数学基础丛书
• Edition: 2
• Category: Library

✦ Synopsis

《非线性波动方程的现代方法(第2版)》的主旨是利用调和分析的现代理论(特别是Fourier限制型估计、可微函数空间的Littlewood-Paley刻画、Fourier局部化技术等)研究非线性波动方程的适定性与散射理论。除了第一版中涉及的在共形变换或其他变换群下的不变量、经典Morawetz估计、Strichartz估计、非线性波动方程弱解的正则性与唯一性、光滑解与能量解的适定性、临界波方程的散射性理论之外，在第二版中增加了如下两个方面的内容：其一是采用时空乘子方法结合加权的Sobolev-Hardy型不等式，建立不依赖于非线性项及空间维数的Morawetz型估计，通过能量的局部化及线性波的分离、Bourgain的能量归纳技术，证明了临界及次临界Klein-Gordon方程的散射性理论；其二是对于具双Schrodinger结构的高阶Klein-Gordon方程(即Beam方程，它的特点是既没有有限传播速度，也没有独立的质量守恒)，通过引入不同形式的容许关系，建立局部与整体的Strichartz估计。利用Tao的频率局部化方法建立广义的几乎有限传播速度，进而建立高阶Klein-Gordon方程能量散射理论。《非线性波动方程的现代方法(第2版)》的特点是将调和分析方法与现代数学物理方法有机结合，反映这一核心数学领域的最新研究成果与研究进展，特别是利用Bourgain的能量归纳技术与Tao的频率局部化方法，给出了非线性波动方程、Klein-Klein型方程(含高阶情形)的经典研究的统一处理。

《非线性波动方程的现代方法(第2版)》可供理工科院校数学、应用数学专业的高年级大学生、研究生、教师以及相关的科技工作者阅读参考。

✦ Table of Contents

《非线性波动方程的现代方法(第二版)》
封面页
《现代数学基础丛书》编委会
书名页
版权页
《现代数学基础丛书》序
第二版序言
第一版序言
目录页
目录页1
目录页2
正文
第1章 乘子方法、不变量及守恒积分
1.1 Laplace 方程与共形变换群
1.2 乘子方法与一般的变换群
1.3 非线性波方程以及 Klein-Gordon 方程的不变量
1.4 Lagrange 方法以及在波(含色散波)方程中的应用
第2章 弱解的时空可积性、唯一性及正则性
2.1 预备知识、线性估计及应用
2.2 弱解的存在性
2.3 解的唯一性与正则性
第3章 半线性波动方程的光滑解
3.1 问题、结果及证明的归结
3.2 能量估计与次临界的情形
3.3 衰减估计与临界的情形
3.4 高维波动方程的Cauchy 问题解的正则性
第4章 临界波动能量解的整体适定性与散射性
4.1 能量解的 Morawetz 估计及整体适定性
4.2 能量解的整体时空估计及散射理论
4.3 波方程与 Klein-Gordon 型方程能量解及相关问题
第5章 非线性次临界 Klein-Gordon 方程与 Schrodinger 方程的散射理论
5.1 引言
5.2 新型的 Morawetz 估计
5.3 整体时空估计I
5.4 整体时空估计II
5.5 散射性理论
第6章 非线性临界 Klein-Gordon 方程解的散射理论
6.1 引言
6.2 时空范数导致的能量聚集现象
6.3 局部时空估计
6.4 整体时空估计
6.5 散射性理论
第7章 非线性 Klein-Gordon 型方程解局部衰减与低正则性
7.1 非线性 Klein-Gordon 型方程解的局部衰减
7.2 高非线性阶 Klein-Gordon 方程解的局部衰减
7.3 半线性波动方程的低正则性
第8章 非线性高阶 Klein-Gordon 方程的散射性理论
8.1 引言
8.2 Strichartz 估计与适定性理论
8.3 散射理论的机制
8.4 频率局部化技术
8.5 几何有限传播速度
8.6 散射性理论
附录 函数空间嵌入定理及其记忆方法
A.1 函数空间中嵌入定理的基本内容与证明思路
A.2 Sobolev 嵌入定理与尺度变换原理
A.3 用纯光滑尺度来理解插值、乘子、嵌入等关系
A.4 Morrey型空间与 John-Nirenberg 型位势估计
A.5 Sobolev 嵌入定理在PDEs中的应用举例
参考文献
名词索引
《现代数学基础丛书》已出版书目