✍ Scribed by 杨小远; 张英晗; 李晓翠
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随机偏微分方程是模拟复杂的物理和工程现象非常有效的模型，在力学、生物学、化学、微电子学、经济学和金融学、信号处理等领域中都有重要的应用。本书的主要内容包括以下几个方面：随机偏微分方程有限元方法研究进展；无穷维随机偏微分方程理论基础；随机线性和非线性抛物方程有限元理论分析与数值模拟方法；随机线性和非线性双曲方程有限元理论分析与数值……
扉页
内 容 简 介
前 言
目 录
第1章基础知识
1.1 Banach空间和Hilbert空间上的有界线性算子
1.1.1 度量空间
1.1.2 线性算子与线性泛函
1.1.3 核算子与Hilbert-Schmit算子
1.2 Sobolev空间
1.2.1 广义导数与Sobolev空间
1.2.2 Sobolev空间嵌入定理
1.2.3 迹定理
1.2.4 Sobolev空间中的等价模定理
1.2.5 Sobolev空间中的内插理论
1.2.6 Gronwall引理
1.3 算子半群
1.3.1 抽象函数
1.3.2 算子半群基本概念
1.3.3 C0半群
1.3.4 解析半群与算子的分数次幂
1.3.5 半群的扰动和逼近
1.4 有限元方法基本理论
1.4.1 变分原理
1.4.2 有限元离散与插值误差估计
1.4.3 发展方程的有限元方法
1.5 随机积分
1.5.1 概率空间
1.5.2 随机变量与Bochner积分
1.5.3 条件期望与独立性
1.5.4 Gaussian测度
1.5.5 随机过程与鞅
1.5.6 关于Q-Wiener过程的随机积分
第2章随机抛物方程有限元方法
2.1 抛物方程有限元方法理论分析
2.1.1 空间半离散格式的误差估计
2.1.2 全离散格式的有限元误差估计
2.2 自伴算子随机抛物方程有限元方法
2.2.1 空间半离散格式的误差估计
2.2.2 全离散格式的有限元误差估计
2.3 非自伴算子随机抛物方程有限元方法
2.3.1 空间半离散格式的误差估计
2.3.2 全离散格式的有限元误差估计
2.4 研究进展评述
第3章随机Navier-Stokes方程的有限元分析与后验误差估计
3.1 方程的理论分析
3.2 有限元误差估计
3.2.1 时间半离散格式的误差估计
3.2.2 全离散格式的有限元误差估计
3.3 后验误差估计
3.3.1 加权Clement-type插值算子
3.3.2 空间半离散格式的后验误差估计
3.3.3 全离散格式的后验误差估计
3.4 研究进展评述
第4章随机弹性方程有限元方法
4.1 弹性方程有限元方法理论分析
4.1.1 弹性方程解的定性分析
4.1.2 基于C1元的弹性方程半离散有限元方法
4.1.3 基于C1元的弹性方程全离散有限元方法
4.1.4 基于C0元的弹性方程半离散有限元方法
4.1.5 基于C0元的弹性方程全离散有限元方法
4.2 带有C-Wiener过程噪声项的随机弹性方程有限元方法
4.2.1 随机弹性方程解的性质
4.2.2 基于C1元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计
4.2.3 基于C1元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计
4.2.4 基于C 0元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计
4.2.5 基于C0元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计
4.2.6 随机弹性方程有限元方法的弱误差估计
4.3 带有Brownian片噪声项的随机波动方程和随机弹性方程有限元方法
4.3.1 两类随机双曲方程的统一表示形式
4.3.2 方程的正则化
4.3.3 正则化方程误差估计
4.3.4 随机指数积分法
4.3.5 全离散有限元逼近
4.4 研究进展评述
第5章随机椭圆型方程有限元方法
5.1 椭圆方程的Green函数
5.2 随机椭圆方程有限元方法
5.2.1 方程的正则化
5.2.2 有限元误差估计
5.3 随机Stokes方程非协调有限元方法
5.3.1 随机Stokes方程Green函数的性质
5.3.2 白噪声的正则化
5.3.3 非协调有限元逼近
第6章随机积分微分方程有限元方法
6.1 随机积分微分方程的理论分析
6.1.1 问题的陈述
6.1.2 积分微分方程的预解系
6.1.3 随机积分微分方程温和解的存在性和唯一性
6.2 空间半离散格式的误差估计
6.3 全离散格式的有限元误差估计
6.4 研究进展评述
参考文献
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《高等院校重点课程教材:偏微分方程》主要介绍波动方程、热传导方程和位势方程定解问题的推导及其求解方法，还对两个自变量的一阶偏微分方程组作了简单介绍。全书共分6章，其基本内容包括：从实际问题出发导出3类方程及其定解条件、二阶线性偏微分方程的分类、线性偏微分方程的叠加原理和定解问题的适定性概念、行波法、分离变量法、微分方程的特征值问题、Fourier变换、Laplace变换、Green函数方法以及两个自变量的一阶线性和拟线性偏微分方程组及它们的Cauchy问题的解法。《高等院校重点课程教材:偏微分方程》的内容按求解方法进行安排，为了便于读者理解，书中配置了一定数量的例题和习题。 《偏微分方程》可
<p>《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是，除在每节