現代線形代数―分解定理を中心として

✍ Scribed by 池辺八洲彦, 池辺淑子, 浅井信吉, 宮崎佳典

• Publisher: 共立出版
• Year: 2009
• Tongue: Japanese
• Leaves: 386
• Category: Library

✦ Synopsis

[内容紹介]
本書は,数個の重要な分解定理を中心に,線形代数(行列論)の基礎を頭に入りやすい形に整理し直しており,線形代数を一から学ぶだけでなく,一度学んだ線形代数の知識を再整理し,さらにより進んだ知識を蓄えることができる書となっている。行列計算は理工学における計算のみならず,経済・経営分野における応用統計計算など広大な応用をもつことが知られているが,本書の内容はこの点にもよく配慮して決められており,新鮮かつ最近の話題を多く含む。また,現代行列計算の専門書を読むために必要十分な基礎知識も網羅している。
細部の特徴をいくつか挙げれば,従来やや手の込んだ証明法やわかりにくい説明法がなされてきたエルミート行列固有値摂動定理,一般行列関数の定義法を,ごく少量の初歩的知識のみを使った新鮮な証明法と説明法で置き換えた。また,一般化特異値問題への面白い応用をもつCS分解の導出と応用例の解説は,執筆時点において本書以外には原著論文に簡潔な形で存在するのみである。また,解析学からの基礎知識,とくに有限次元ノルム空間の基礎的事項は,行列計算の理解に必要となるので,話題を精選の上,丁寧な解説を行っている。

[著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)]
池辺/八洲彦
生年1934。京都大学工学部卒。PhD(1966、数学、テキサス大学オースチン校)。国内5大学、米国3大学教員歴任。筑波大学名誉教授、会津大学名誉教授。現在、情報科学国際交流財団理事長。専門は数値解析。日本応用数理学会。情報処理学会、日本eラーニング学会、eラーニングコンソーシアム会員

池辺/淑子
生年1967(池辺八洲彦の長女)。東京工業大学理学部卒。同大学大学院総合理工学研究科修了。博士(理学)(1994)。現在、東京理科大学工学部経営工学科准教授。専門は数理計画、とくに離散最適化。日本オペレーションズ・リサーチ学会、Mathematical Programming Society会員。TOEICスコア980点

浅井/信吉
生年1968。筑波大学大学院工学研究科修了。博士(工学)(1996)。筑波大学講師(ベンチャー・ビジネス・ラボラトリー研究員)、(株)ウエーブフロント勤務を経て、会津大学准教授。専門は数値解析、サーバ技術にも精通。日本応用数理学会、情報処理学会、eラーニングコンソーシアム会員

宮崎/佳典
生年1970。筑波大学大学院工学研究科を単位取得満期退学後、静岡産業大学情報学部助教授を経て、静岡大学情報学部准教授。博士(工学)(2000、筑波大学)。日本応用数理学会、情報処理学会、日本eラーニング学会、外国語教育メディア学会など各会員。数値解析・eラーニング周辺の研究に従事(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

✦ Table of Contents

池辺・池辺・浅井・宮崎(2009)：現代線形代数ー分解定理を中心として, 共立出版......Page 1
まえがき......Page 2
目次......Page 9
記号表......Page 16
1.1 例から入門......Page 18
1.2 行列の言葉......Page 20
1.3 行列の相等......Page 22
1.4 行列の和とスカラー倍......Page 23
1.5 積......Page 25
1.6 単位行列......Page 30
1.7 分配則と積の結合則および拡大結合則......Page 31
1.8 逆行列......Page 32
1.10 転置......Page 34
1.11 和, スカラー倍, 積および逆行列の転置......Page 36
1.12 共役と共役転置......Page 37
1.13 和, スカラー倍, 積および逆行列の共役, 共役転置......Page 38
1.15 ブロック行列の積......Page 39
1.16 ブロック行列の転置......Page 42
腕試し問題......Page 43
解答......Page 346
解答1.6~1.10......Page 347
解答4.1......Page 348
2.1 行列算総括......Page 49
2.3 簡単な結果......Page 52
2.4 ベクトル空間の例......Page 53
2.5 集合論からPartI ー写像ー......Page 55
2.6 線形写像......Page 56
2.7 線形写像の例......Page 57
2.8 1次方程式 Ax=b......Page 58
2.9 1次結合......Page 59
2.10 1次独立性と1次従属性......Page 60
2.11 線形代数の基本定理......Page 62
2.12 部分空間......Page 63
2.13 スパン......Page 64
2.14 線形写像の零空間(核) と値域......Page 65
2.15 基底......Page 66
2.17 基底に関する定理......Page 67
2.18 線形写像の行列表現......Page 69
2.20 集合論からPartII ー同値関係と同値類ー......Page 72
腕試し問題......Page 75
3.1 同値分解......Page 76
3.2 LDU分解......Page 77
3.3 行列式......Page 78
3.4 内積......Page 80
3.5 QR分解......Page 83
(I) QR分解計算法......Page 84
(II) QR分解の応用例......Page 85
3.6 シュア分解......Page 86
3.7 ジョルダン分解......Page 88
ジョルダン分解の応用例......Page 91
3.8 特異値分解......Page 92
特異値分解の応用例......Page 93
3.9 CS分解......Page 94
3.10 ノルムと収束......Page 95
3.11 演算子ノルム......Page 99
3.12 条件数......Page 100
3.13 行列とグラフ......Page 101
3.14 注意事項......Page 103
4.1 同値分解......Page 104
4.2 LDU分解......Page 105
4.3 ガウスの消去法によるLDU分解 Part I......Page 106
4.4 ガウスの消去法によるLDU分解 Part II......Page 108
4.5 階数の一意性......Page 113
4.6 LDU分解の一意性......Page 114
腕試し問題......Page 116
解答4.2~4.4......Page 349
5.1 過少決定系は非零解を持つ(線形代数の基本定理)......Page 118
5.2 過剰決定系は一般に可解でない......Page 119
5.3 逆行列存在の必要十分条件......Page 121
5.4 階数の特徴づけ......Page 123
5.5 Ax=b 型行列方程式の可解必要十分条件......Page 124
5.6 値域と零空間......Page 126
5.7 階数の同値な定義......Page 127
5.8 次元定理......Page 128
5.9 LDU分解の行列方程式解法への応用......Page 129
腕試し問題......Page 130
解答5.1~5.12......Page 350
解答6.1~6.3......Page 351
6.1 行列式の定義......Page 133
6.2 偶置換と奇置換......Page 134
6.3 置換に互換を行うと偶奇性が反転する......Page 135
6.4 定義式による行列式計算例......Page 136
6.6 転置をとっても行列式の値は変わらない： detA^T = detA......Page 139
6.7 行列式は各行, 各列について線形である(多重線形性)......Page 140
6.8 相等しい2行また2列を持つ行列式の値は0に等しい......Page 141
6.9 2行または2列を互換すると行列式の符号は反転する(交代性)......Page 142
6.10 任意行 (または列) のスカラー倍を他行 (または他列) に加えても行列式の値は変わらない......Page 143
6.11 積の行列式は行列式の積に等しい......Page 144
6.12 可逆性と行列式の非零性は同値である......Page 145
6.13 行列式の特定の行または列による展開......Page 146
6.14 逆行列の公式......Page 148
6.15 クラメールの公式......Page 149
6.16 ラプラス展開......Page 150
6.17 ビネ・コーシー展開......Page 153
6.18 3次行列式は平行六面体の符号付体積を表す......Page 155
6.19 ベクトル積(外積)......Page 157
腕試し問題......Page 159
解答6.5~6.11......Page 352
解答7.1~7.3......Page 353
7.1 内積の公理......Page 162
7.2 正定値行列......Page 163
7.3 内積の行列表現......Page 164
7.4 正規直交系に関する補題......Page 165
7.5 グラム・シュミット法......Page 166
7.6 直交補空間......Page 169
7.7 コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式......Page 172
7.8 平行四辺形の法則......Page 174
腕試し問題......Page 175
解答7.4~7.6......Page 354
8.1 固有値と固有ベクトル......Page 176
8.2 固有値問題入門......Page 179
8.3 相似変換......Page 180
8.4 ユニタリ行列, 反射行列(ハウスホルダー行列)......Page 182
8.5 QR分解......Page 183
8.6 複素行列のシュア分解......Page 185
8.7 実行列のシュア分解......Page 187
8.8 エルミート行列はユニタリ相似変換によって実対角化できる......Page 189
8.9 シュア分解により対角化可能な行列は正規行列である......Page 190
8.10 2次形式......Page 191
8.11 ケイリー・ハミルトンの定理......Page 195
8.12 トレースと固有値局所化定理......Page 196
腕試し問題......Page 198
解答8.1~8.6......Page 355
解答8.7~8.13......Page 356
解答9.1~9.7......Page 357
9.1 エルミート行列とレーリー商......Page 200
9.2 単調定理......Page 201
9.3 分離定理(コーシーの入れ子定理)......Page 204
9.4 クーラン・フィッシャーの定理......Page 206
9.5 ゲルシュゴーリンの定理......Page 207
9.6 連成振動解析......Page 209
9.7 3つの重要不等式......Page 213
9.8 レーリー商と固有値近似......Page 214
9.9 2次直交行列の標準形......Page 218
9.10 3次直交行列の標準形......Page 219
腕試し問題......Page 224
解答9.8~9.12......Page 358
第10章 ジョルダン分解 Part I......Page 230
10.1 ジョルダン分解の一般形......Page 231
10.2 ジョルダン分解の構造......Page 233
10.3 1次独立性に関する補題......Page 237
10.4 単一固有値を持つ行列のジョルダン分解 Part I......Page 239
10.5 単一固有値を持つ行列のジョルダン分解 Part II......Page 241
10.6 異なる固有値を持つ行列のジョルダン分解......Page 244
腕試し問題......Page 246
解答10.1~10.5......Page 359
解答10.6......Page 360
解答10.7......Page 361
解答11.1~11.3......Page 362
11.1 M演算......Page 250
11.2 多項式 P(A)......Page 252
11.3 分数関数 P(A)Q^-1(A)......Page 254
11.4 コーシーの積分公式......Page 255
11.5 行列冪(ベキ)級数......Page 258
11.6 定係数線形微分方程式への応用 Part I......Page 262
11.7 定係数線形微分方程式への応用 Part II......Page 263
腕試し問題......Page 269
解答11.4~11.5......Page 363
解答11.6~11.8......Page 365
解答11.9~11.11......Page 366
解答12.1......Page 367
12.1 特異値分解定理......Page 274
12.2 ベクトル2ノルム......Page 277
12.3 ノルム空間......Page 278
12.4 行列ノルム(演算子2ノルム)......Page 279
12.5 演算子ノルムの性質......Page 281
12.6 階数分析への応用......Page 283
12.7 行列方程式への応用......Page 286
12.8 最小自乗法への応用......Page 287
腕試し問題......Page 291
解答12.2~12.6......Page 368
13.1 ページ・サンダース型(P-S型) CS分解......Page 293
13.2 P-S型 CS分解の証明......Page 297
13.3 p>=m>=kの場合......Page 302
13.4 正射影......Page 305
13.5 部分空間の間の距離......Page 307
13.6 AB^(-1) 型行列の特異値分解......Page 309
腕試し問題......Page 312
解答13.1~13.6......Page 369
解答14.1~14.3......Page 370
14.1 線形写像の有界性と連続性......Page 315
14.2 展開係数の有界性......Page 317
14.3 有限次元ノルム空間に関する3つの性質......Page 319
14.4 有限次元ノルム空間上の線形写像......Page 321
14.5 演算子ノルム......Page 322
14.6 演算子ノルムの性質......Page 325
14.7 演算子ノルムの応用例......Page 327
14.8 ハーン・バナハの定理......Page 330
14.9 ハーン・バナハの定理の応用例......Page 335
腕試し問題......Page 337
解答14.4~14.8......Page 371
解答14.9~14.11......Page 372
解答14.12......Page 373
15.2 強連結成分......Page 340
15.4 強連結性と既約性は同値である......Page 342
15.5 グラフが強連結な優対角行列は可逆である......Page 343
15.6 行列方程式への応用......Page 344
参考文献......Page 374
索引......Page 377