模形式初步

✍ Scribed by 李文威著

• Publisher: 科学出版社
• Year: 2020
• Tongue: Chinese
• Leaves: 413
• Category: Library

✦ Synopsis

本书主要探讨模形式的经典面向，包括 Hecke 算子和 L-函数的相关理
论最后两章简介模曲线和模形式的联系附录提供了所需的分析、几何和
数论知识
本书可作为高等学校数学专业的高年级本科生或研究生教材，也可作为
自学之用

✦ Table of Contents

目录
《现代数学基础丛书》序
导言
第一章基本定义
1.1线性分式变换
1.2圆盘模型
1.3变换的分类和不动点
1.4同余子群、尖点、基本区域
1.5整权模形式初探
1.6Dirichlet区域
第二章案例研究
2.1经典分析:Γ函数
2.2Riemannι函数初探
2.3Eisenstein级数:Γ=SL（2,Z）情形
2.4E₂,η,△与j函数
2.5主同余子群Γ（N）的Eisenstein级数
2.6同余子群的Eisenstein级数概述
第三章模曲线的解析理论
3.1复结构
3.2添入尖点
3.3同余子群情形
3.4Siegel定理与紧化
3.5间奏:可公度性、算术子群、四元数
3.6整权模形式的一般定义
3.7Petersson内积
3.8与复环面的关系
第四章维数公式与应用
4.1热身:除子类的计算
4.2亏格公式
4.3偶数权维数公式
4.4应用举隅
4.5亚纯模形式的存在性
4.6奇数权维数公式
第五章Hecke算子通论
5.1双陪集与卷积
5.2双陪集代数:模与反对合
5.3与Hermite内积的关系
5.4模形式与Hecke算子
5.5SL（2,Z）情形概观:Hall代数
5.6特征形式初探
第六章同余子群的Hecke算子
6.1菱形算子和T_p算子
6.2双陪集结构
6.3一般的T_n算子和特征形式
6.4旧形式与新形式
6.5Atkin－Lehner定理
第七章L－函数
7.1Fourier系数的初步估计
7.2Mellin变换与Dirichlet级数
7.3应用:从θ级数到平方和问题
7.4Hecke特征形式的L－函数
7.5函数方程
7.6凸性界
第八章椭圆函数和复椭圆曲线
8.1椭圆函数
8.2射影嵌入
8.3复环面的情形
8.4Jacobi簇与椭圆曲线
8.5加法结构和若干例子
8.6复乘初阶
8.7起源与应用
第九章上同调观模形式
9.1模形式作为全纯截面
9.2若干局部系统
9.3上同调与滤过
9.4Eichler－志村同构
9.5抛物上同调
9.6上同调观Hecke算子
第十章模形式与模空间
10.1Tate曲线
10.2几何模形式
10.3Eichler－志村关系:Hecke算子
10.4Eichler－志村关系:主定理
10.5重访Hecke代数
10.6从特征形式构造Galois表示
10.7模性一瞥
参考文献
附录A分析学背景
A.1拓扑群及其作用
A.2基本区域
A.3正规收敛与全纯函数
A.4无穷乘积
A.5调和分析
A.6Phragmén－Lindelof原理
附录BRiemann曲面背景
B.1层与局部系统
B.2Riemann曲面概貌
B.3分歧复叠
B.4态射与Riemann－Hurwitz公式
B.5全纯向量丛及其截面
B.6亚纯微分的应用
B.7Riemann－Roch定理的陈述
附录C算术背景
C.1群的上同调
C.2Galois群及p－进数
C.3Galois表示和平展上同调
符号索引
名词索引暨英译
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