✍ Scribed by 李文威
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《模形式初步》主要探讨模形式的经典面向, 包括Hecke 算子和L-函数的相关理论. 后两章简介模曲线和模形式的联系. 附录提供了所需的分析、几何和数论知识.
导言
1 基本定义
1.1 线性分式变换
1.2 圆盘模型
1.3 变换的分类和不动点
1.4 同余子群, 尖点, 基本区域
1.5 整权模形式初探
1.6 Dirichlet 区域
2 案例研究
2.1 经典分析: Gamma 函数
2.2 Riemann zeta 函数初探
2.3 Eisenstein 级数: Gamma = SL(2,Z) 情形
2.4 E2, eta, Delta 与 j 函数
2.5 主同余子群 Gamma(N) 的 Eisenstein 级数
2.6 同余子群的 Eisenstein 级数概述
3 模曲线的解析理论
3.1 复结构
3.2 添入尖点
3.3 同余子群情形
3.4 Siegel 定理与紧化
3.5 间奏: 可公度性, 算术子群, 四元数
3.6 整权模形式的一般定义
3.7 Petersson 内积
3.8 与复环面的关系
4 维数公式与应用
4.1 热身: 除子类的计算
4.2 亏格公式
4.3 偶数权维数公式
4.4 应用举隅
4.5 亚纯模形式的存在性
4.6 奇数权维数公式
5 Hecke 算子通论
5.1 双陪集与卷积
5.2 双陪集代数: 模与反对合
5.3 与 Hermite 内积的关系
5.4 模形式与 Hecke 算子
5.5 SL2Z 情形概观: Hall 代数
5.6 特征形式初探
6 同余子群的 Hecke 算子
6.1 菱形算子和 Tp 算子
6.2 双陪集结构
6.3 一般的 Tn 算子和特征形式
6.4 旧形式与新形式
6.5 Atkin–Lehner 定理
7 L-函数
7.1 Fourier 系数的初步估计
7.2 Mellin 变换与 Dirichlet 级数
7.3 应用: 从 Theta 级数到平方和问题
7.4 Hecke 特征形式的 L 函数
7.5 函数方程
7.6 凸性界
8 椭圆函数和复椭圆曲线
8.1 椭圆函数
8.2 射影嵌入
8.3 复环面的情形
8.4 Jacobi 簇与椭圆曲线
8.5 加法结构和若干例子
8.6 复乘初阶
8.7 起源与应用
9 上同调观模形式
9.1 模形式作为全纯截面
9.2 若干局部系统
9.3 上同调与滤过
9.4 Eichler–志村同构
9.5 抛物上同调
9.6 上同调观 Hecke 算子
10 模形式与模空间
10.1 Tate 曲线
10.2 几何模形式
10.3 Eichler–志村关系: Hecke 算子
10.4 Eichler–志村关系: 主定理
10.5 重访 Hecke 代数
10.6 从特征形式构造 Galois 表示
10.7 模性一瞥
A 分析学背景
A.1 拓扑群及其作用
A.2 基本区域
A.3 正规收敛与全纯函数
A.4 无穷乘积
A.5 调和分析
A.6 Phragmén–Lindelöf 原理
B Riemann 曲面背景
B.1 层与局部系统
B.2 Riemann 曲面概貌
B.3 分歧复叠
B.4 态射与 Riemann–Hurwitz 公式
B.5 全纯向量丛及其截面
B.6 亚纯微分的应用
B.7 Riemann–Roch 定理的陈述
C 算术背景
C.1 群的上同调
C.2 Galois 群及 p 进数
C.3 Galois 表示和平展上同调
参考文献
符号索引
名词索引暨英译
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