微积分和数学分析引论. 第二卷

✍ Scribed by Richard Courant; Fritz John

• Publisher: 科学出版社
• Year: 2005
• Tongue: Chinese
• Leaves: 560
• Series: 数学名著译丛
• Category: Library

✦ Synopsis

本书系统地阐述了微积分学的基本理论.在叙述上,作者尽量做到既严谨而又通俗易慌,并指出概念之间的内在联系和直观背景.原书分两卷,第一卷为单变量情形;第二卷为多变量情形.

第一卷包括九章,前三章主要介绍函数、极限、微分和积分的基本概念及其运算;第四章介绍微积分在物理和几何中的应用;第五章讲述泰勒展开式;第六章讲述数值方法;第七章介绍无穷和与无穷乘积的槟念;第八章为三角级数;第九章是与振动有关的最简单类型的微分方程.本书包含大量的例题和习题,有助于读者理解本书的内容

读者对象为高等学校理工科大学师生、数学工作者和工程技术人员.

✦ Table of Contents

微积分和数学分析引论 第二卷 第二分册
目录
第四章 多重积分
4.1 平面上的面积
a．面积的若尔当测度的定义
b．一个没有面积的集合
c．面积的运算法则
练习4.1
4.2 二重积分
a．作为体积的二重积分
b．积分的一般分析概念
c．例
d．记号、推广、基本法则
e．积分估计与中值定理
4.3 三维及高维区域上的积分
4.4 空间微分、质量与密度
4.5 化重积分为累次单积分
a．在矩形上的积分
b．积分交换次序．积分号下求微分
c．在更一般的区域上化二重积分为单重积分
d．在多维区域中的推广
4.6 重积分的变换
a．平面上的积分的变换
b．高于二维的区域
练习4.6
4.7 广义多重积分
a．有界集上函数的广义积分
b．广义积分一般收敛定理的证明
c．无界区域上的积分
练习4.7
4.8 在几何中的应用
a．体积的初等计算
b．体积计算的一般性附注．旋转体在球坐标系中的体积
c．曲面的面积
练习4.8
4.9 在物理中的应用
a．矩和质心
b．惯性矩
c．复合摆
d．吸引质量的势
练习4.9
4.10 在曲线坐标中的重积分
a．重积分的分解
b．应用到移动曲线扫过的面积和移动曲面扫过的体积．古鲁金公式．配极求积仪
4.11 任意维数的体积和曲面面积
a．高于三维的曲面面积和曲面积分
b．n维空间中的球体面积和体积
c．推广．参数表示
练习4.11
4.12 作为参数的函数的广义单积分
a．一致收敛性．对参数的连续依赖性
b．广义积分对参数的微分法和积分法
c．例
d．菲涅尔积分值的计算
练习4.12
4.13 傅里叶积分
a．引言
b．例
c．傅里叶积分定理的证明
d．傅里叶积分定理的收敛速度
e．傅里叶变换的帕塞瓦尔等式
f．多元函数的傅里叶变换
练习4.13
4.14 欧拉积分（伽玛函数）
a．定义和函数方程
b．凸函数．波尔-摩尔路波定理的证明
c．伽玛函数的无穷乘积
d．延拓定理
e．贝塔函数
f．分数次微商和积分，阿贝尔积分方程
练习4.14
附录：积分过程的详细分析
A.1 面积
a．平面的分划和相应的内、外面积
b．若尔当可测集及其面积
c．面积的基本性质
A.2 多元函数的积分
a．函数f（x，y）的积分的定义
b．连续函数的可积性与在集合上的积分
c．重积分的基本法则
d．化重积分为累次单积分
A.3 面积与积分的变换
a．集合的映射
b．重积分的变换
A.4 关于曲面面积定义的附注
第五章 曲面积分和体积分之间的关系
5.1 线积分和平面上的重积分之间的联系（高斯，斯托克斯和格林的积分定理）
5.2 散度定理的向量形式.斯托克斯定理
练习5.2
5.3 二维分部积分公式．格林定理．散度定理
5.4 散度定理应用于重积分的变量替换
a．1-1映射的情形
b．积分的变量替换和映射度
5.5 面积微分，将Δu变到极坐标的变换
5.6 用二维流动解释格林和斯托克斯公式
5.7 曲面的定向
a．三维空间中二维曲面的定向
b．在定向曲面上曲线的定向
练习5.7
5.8 曲面上微分形式和数量函数的积分
a．定向平面区域上的重积分
b．二阶微分形式的曲面积分
c．定向曲面上微分形式的积分和非定向曲面上数量函数的积分之间的关系
5.9 空间情形的高斯定理和格林定理
a．高斯定理
练习5.9a
b．高斯定理在流体流动中的应用
c．高斯定理在空间力和曲面力上的应用
d．分部积分和三维空间中的格林定理
e．应用格林定理把ΔU变换成球坐标的形式
练习5.9e
5.10 空间斯托克斯定理
a．定理的叙述和证明
练习5.10a
b．斯托克斯定理的物理解释
练习5.10b
5.11 高维积分恒等式
附录 曲面和曲面积分的一般理论
A.1 三维空间中的曲面和曲面积分
a．基本曲面
b．函数在基本曲面上的积分
c．定向基本曲面
d．简单曲面
e．单位分解以及在简单曲面上的积分
A.2 散度定理
a．定理的叙述及其不变性
b．定理的证明
A.3 斯托克斯定理
A.4 在高维欧氏空间中的曲面和曲面积分
a．基本曲面
b．微分形式在定向基本曲面上的积分
c．简单m维曲面
A.5 高维空间中简单曲面上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式
第六章 微分方程
6.1 空间质点运动的微分方程
a．运动方程
b．能量守恒原理
c．平衡．稳定性
d．在平衡位置附近的小振动
e．行星运动
练习6.1e
f．边值问题．有载荷的缆与有载荷的梁
6.2 一般的一阶线性微分方程
a．分离变量法
b．一阶线性方程
练习6.2
6.3 高阶线性微分方程
a．叠加原理．通解
b．二阶齐次微分方程
练习6.3b
c．非齐次微分方程．参数变易法
练习6.3c
6.4 一般的一阶微分方程
a．几何解释
b．曲线族的微分方程．奇解．正交轨线
c．解的存在唯一性定理
练习6.4
6.5 微分方程组和高阶微分方程
练习6.5
6.6 用待定系数法求积分
练习6.6
6.7 电荷引力的位势和拉普拉斯方程
a．质量分布的位势
b．位势的微分方程
c．均匀双层位势
d．平均值定理
e．圆的边值问题．泊松（Poisson）积分
练习6.7
6.8 来自数学物理的偏微分方程的其它例子
a．一维波动方程
b．三维空间的波动方程
c．自由空间中的麦克斯韦（Maxwell）方程组
练习6.8
第七章 变分学
7.1 函数及其极值
7.2 泛函极值的必要条件
a．第一变分等于零
练习7.2a
b．欧拉微分方程的推导
c．基本引理的证明
d．一些特殊情形的欧拉微分方程的解．例子
练习7.2d
e．欧拉表达式恒等于零的情形
7.3 推广
a．具有多于一个自变函数的积分
b．例子
练习7.3b
c．哈密顿原理．拉格朗日方程
d．含高阶导数的积分
e．多自变量
7.4 含附带条件的问题．拉格朗日乘子
a．通常的附带条件
练习7.4a
b．其他类型的附带条件
练习7.4b
第八章 单复变函数
8.1 幂级数表示的复函数
a．极限．复数项的无穷级数
b．幂级数
c．幂级数的微分法和积分法
d．幂级数的例子
8.2 单复变函数一般理论的基础
a．可微性条件
b．微分学的最简单运算
c．保角变换．反函数
8.3 解析函数的积分
a．积分的定义
b．柯西定理
c．应用．对数函数，指数函数及一般幂函数
8.4 柯西公式及其应用
a．柯西公式
b．解析函数的幂级数展式
c．函数论与位势理论
d．柯西定理的逆定理
e．解析函数的零点，极点和留数
8.5 留数定理对复积分（围道积分）的应用
a．证明公式
b．证明公式
c．留数定理对于有理函数的积分的应用
d．留数定理与常系数微分方程
8.6 多值函数与解析开拓
练习（8.1-8.5节）
解答