微积分和数学分析引论. 第一卷

✍ Scribed by Richard Courant; Fritz John

• Publisher: 科学出版社
• Year: 2005
• Tongue: Chinese
• Leaves: 375
• Series: 数学名著译丛
• Category: Library

✦ Synopsis

本书系统地阐述了微积分学的基本理论.在叙述上,作者尽量做到既严谨而又通俗易慌,并指出概念之间的内在联系和直观背景.原书分两卷,第一卷为单变量情形;第二卷为多变量情形.

第一卷包括九章,前三章主要介绍函数、极限、微分和积分的基本概念及其运算;第四章介绍微积分在物理和几何中的应用;第五章讲述泰勒展开式;第六章讲述数值方法;第七章介绍无穷和与无穷乘积的槟念;第八章为三角级数;第九章是与振动有关的最简单类型的微分方程.本书包含大量的例题和习题,有助于读者理解本书的内容

读者对象为高等学校理工科大学师生、数学工作者和工程技术人员.

✦ Table of Contents

目录
第一章 引言
1.1 实数连续统
a.自然数系及其扩充.计数和度量
b.实数和区间套
c.十进小数.其他进位制
d.领域的定义
e.不等式
1.2 函数的概念
a.映射——图形
b.单连续变量的函数概念的定义。函数的定义域和值域
c.函数的图形表示.单调函数
d.连续性
e.中间值定理.反函数
1.3 初等函数
a.有理函数
b.代数函数
c.三角函数
d.指数函数和对数函数
e.复合函数.符号积.反函数
1.4 序列
1.5 数学归纳法
1.6 序列的极限
a.an=1/n
b.a2m=1/m;a2m-1=1/2m
c.an=n/n+1
d.an=np
e.an=()n
f.an和n(p)的极限之几何解释
g.几何级数
h.an=n(n)
i.an=(n+1)-(n)
j.an=n/()n,其中()>1
1.7 再论极限概念
a.收敛和发散的定义
b.极限的有理运算
c.内在的收敛判别法.单调序列
d.无穷级数及求和符号
e.数e
f. 作为极限的数Π
1.8 单连续变量的函数的极限概念
a.初等函数的一些注记
补篇
S1 极限和数的概念
a.有理数
b.有理区间序列定义实数
c.实数的顺序、极限和算述运算
d.实数连续统的完备性.闭区间的紧致性.收敛判别法则
e.最小上界和最大下界
f.有理数的可数性
S2 关于连续函数的定理
S3 极坐标
S4 关于复数的柱记
问题
第二章 积分学和微分学的基本概念
2.1 积分
a.引言
b.作为面积的积分
c.积分的分析定义.表示法
2.2 积分的初等实例
a.线性函数的积分
b.x²的积分
c.x(a)的积分((a)是不等于-1的整数)
d.x(a)的积分((a)是不等于-1的有理数)
e.sinx和cosx的积分
2.3 积分的基本法则
a.可加性
b.函数之和的积分。函数与常数乘积的积分
c.积分的估值
d.积分中值定理
2.4 作为上限之函数的积分——不定积分
2.5 用积分定义对数
a.对数函数的定义
b.对数的加法定理
2.6 指数函数和幂函数
a.数的e的对数
b.对数函数的反函数.指数函数
c.作为幂的极限的指数函数
d.正数的任意次幂的定义
e.任一底的指数
2.7 x的任意次幂的积分
2.8 导数
a.导数与切线
b.作为速度的导数
c.微分法举例
d.一些基本的微分法则
e.函数的可微性和连续性
f.高阶导数及其意义
g.导数和差商.莱布尼兹表示法
h.微分中值定理
i.定理的证明
j.函数的线性近似.微分的定义
k.关于在自然科学中的应用的一点评述
2.9 积分、原函数和微积分基本定理
a.不定积分的导数
b.原函数及其与积分的关系
c.用原函数计算定积分
d.例
补篇 连续函数的定积分的存在性
问题
第三章 微分法和积分法
第一部分 初等函数的微分和积分
3.1 最简单的微分法则及其应用
a.微分法则
b.有理函数的微分法
c.三角函数的微分法
3.2 反函数的导数
a.一般公式
b.n次幂的反函数:n次根
c.反三角函数——多值性
d.相应的积分公式
e.指数函数的导数与积分
3.4 指数函数的某些应用
a.用微分方程定义指数函数
b.连续复利.放射性蜕变
c.物体被周围介质冷却或加热
d.大气压随地面上的高度的变化
e.化学反应过程
f.电路的接通或断开
3.5 双曲函数
a.分析的定义
b.加法定理和微分公式
c.反双曲函数
d.与三角函数的其他相似性
3.6 最大值和最小值问题
a.曲线的下凸上凸
b.最大值和最小值——极值问题.平稳点
3.7 函数的量阶
a.量阶的概念.最简单的情形
b.指数函数与对数函数的量阶
c.一点注记
d.在一点的领域内函数的量阶
e.函数趋向于零的量阶
.f.量阶的“O”和“o”表示法
附录
A1 一些特殊的函数
a.函数y=e-1/x2
b.函数y=e-1/x
c.函数y=tanh1/x
d.函数y=xtanh1/x
e.函数y=xsin1/x,y(0)=0
A2 关于函数可微性的注记
第二部分 积分法
3.8 初等积分表
3.9 换元法
a.换元公式.复合函数的积分
b.换元公式的另一种推导方法
c.例.积分公式
3.10 换元法的其他实例
3.11 分部积分法
a.一般公式
b.分部积分的其他例子
c.关于f(b)+f(a)的积分公式
d.递推公式
e.Π的沃里斯(Waillis)无穷乘积表示
3.12 有理函数的积分法
a.基本类型
b.基本类型的积分
c.部分分式
d.分解成部分分式举例.待定系数法
3.13 其他几类函数的积分法
a.圆和双曲线的有理表示法初阶
b.R(cosx,sinx)的积分法
c.R(coshx,sinhx)的积分法
d.R(x,(1-x2))的积分法
e.R(x,(x2-1))的积分法
f.R(x,(x2+1))的积分法
g.R(x,(ax2+2bx+c))的积分法
h.化为有理函数积分的其他例子
i.注记
第三部分 积分学的进一步发展
3.14 初等函数的积分
a.用积分定义的函数.椭圆积分和椭圆函数
b.关于微分和积分
3.15 积分概念的推广
a.引言.反常积分的定义
b.无穷间断的函数
c.作为面积的解释
d.收敛判别法
e.无穷区间上的积分
f.*(伽玛)函数
g.狄利克雷(Dirichlet)积分
h.变量置换.菲涅耳(Fresnel)积分
3.16 三角函数的微分方程
a.关于微分方程的初步说明
b.由微分方程和初始条件定义的sinx和cosx
问题
参考文献