微分几何讲义

✍ Scribed by 陈省身; 陈维桓

• Publisher: 北京大学出版社
• Year: 1999
• Tongue: Chinese
• Leaves: 490
• Series: 北京大学数学丛书
• Category: Library

✦ Synopsis

内 容 简 介

本书系统地论述了微分几何的基本知识。全书共七章并两个附录。作者以较大的

篇幅，即前三章和第六章介绍了流形、多重线性函数、向量场、外微分、李群和活动标架

法等基本知识和工具。在具备了上述宽广而坚实的基础上，论述微分几何的核心问题，

即连络、黎曼几何以及曲面论等。第七章复流形，既是当前十分活跃的研究领域，也是

第一作者研究成果卓著的领域之一，包含有作者独到的见解和简捷的方法。最后两个

附录，介绍了极小曲面与规范场理论，为这两活跃的前沿领域提出了不少进一步研究

课题。

此书适用于高等院校数学专业和理论物理专业的高年级学生、研究生阅读，并且

可供数学工作者和物理工作者参考。

目 录

第一章 微分流形

1微分流形的定义

2切空间

3子流形

4Frobenius定理

第二章 多重线性函数

1张量积

2张量

3外代数

第三章 外微分

1张量丛

2外...

内 容 简 介

本书系统地论述了微分几何的基本知识。全书共七章并两个附录。作者以较大的

篇幅，即前三章和第六章介绍了流形、多重线性函数、向量场、外微分、李群和活动标架

法等基本知识和工具。在具备了上述宽广而坚实的基础上，论述微分几何的核心问题，

即连络、黎曼几何以及曲面论等。第七章复流形，既是当前十分活跃的研究领域，也是

第一作者研究成果卓著的领域之一，包含有作者独到的见解和简捷的方法。最后两个

附录，介绍了极小曲面与规范场理论，为这两活跃的前沿领域提出了不少进一步研究

课题。

此书适用于高等院校数学专业和理论物理专业的高年级学生、研究生阅读，并且

可供数学工作者和物理工作者参考。

目 录

第一章 微分流形

1微分流形的定义

2切空间

3子流形

4Frobenius定理

第二章 多重线性函数

1张量积

2张量

3外代数

第三章 外微分

1张量丛

2外微分

3外微分式的积分

4Stokes公式

第四章 连络

1矢量丛上的连络

2仿射连络

3标架丛上的连络

第五章 黎曼流形

1黎曼几何的基本定理

2测地法坐标

3截面曲率

4Gauss－Bonnet定理

5完全性

第六章 李群和活动标架法

1李群

2李氏变换群

3活动标架法

4曲面论

第七章 复流形

1复流形

2矢量空间上的复结构

3近复流形

4复矢量丛上的连络

5Hermite流形和kah1er流形

附录一 欧氏空间中的曲线和曲面

1.切线回转定理

2.四顶点定理

3.平面曲线的等周不等式

4.空间曲线的全曲率

5.空间曲线的变形

6.Gauss－Bonnet公式

7.Cohn－Vossen和Minkowski的唯一性定理

8.关于极小曲面的Bernstein定理

附录二 微分几何与理论物理

参考文献

✦ Table of Contents

序
原序
目录
第一章 比较定理与梯度估计
1.1 比较定理
1.2 分裂定理
1.3 梯度估计
1.4 具非负 Ricci 曲率的完备 Riemann 流形
第二章 负曲率流形上的调和函数
2.1 几何边界 S(∞)及 Dirichlet 问题的可解性
2.2 Harnack 不等式与 Poisson 核
2.3 Martin 边界与 Martin 积分表示
2.4 Harnack 不等式的证明
2.5 更一般流形上的调和函数
2.6 次调和函数与次中值公式
附录 整体 Green 函数的存在性
第三章 特征值问题
3.1 特征值的基本性质
3.2 Riemann 流形的热核
3.3 第一特征值上界估计
3.4 第一特征值下界估计
3.5 高阶特征值的估计
3.6 结点集与特征值的重数
3.7 相邻两特征值之空隙
3.8 与曲面有关的特征值问题
第四章 Riemann 流形上的热核
4.1 热方程的梯度估计
4.2 Harnack 不等式与热核的估计
4.3 热核估计的应用
第五章 纯量曲率的共形形变
5.1 三维情形
5.2 Yamabe 问题与共形不变量(m)
5.3 共形正规坐标与 Green 函数的渐近展开
5.4 Yamabe 问题的解决
附录 Sobolev 不等式中的最佳常数
第六章 局部共形平坦流形
6.1 共形变换与局部共形平坦流形
6.2 共形不变量
6.3 局部共形平坦流形在俨上的嵌入
6.4 局部共形平坦流形的拓扑
6.5 与偏微分方程的关系
参考文献(第一至第六章)
第七章 问题集
7.1 曲率及流形上的拓扑
7.2 曲率与复结构
7.3 子流形
7.4 谱
7.5 与测地线有关的问题
7.6 极小子流形
7.7 广义相对论和 Yang-milh 方程
参考文献
第八章 几何中的非线性分析
8.1 特征值与调和函数
8.2 Yamabe 方程及共形平坦流形
8.3 调和映照
8.4 极小子流形
8.5 Kahler 几何
8.6 复流形上的典则度量
参考文献
第九章 几何中未解决的问题
9.1 度量几何
9.2 经典 Euclid 几何
9.3 偏微分方程
9.4 Kahler 几何学
参考文献
附录 I 几何学的未来发展
附录 II 几何与分析回顾
附录 III 复几何的历史及前景
索 引