✍ Scribed by 川崎徹郎
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本書は,大学数学科での集合論および位相空間論の解説書・演習書である。
1~3章は集合論の初歩と距離空間の導入である。楽しい問題をたくさん集め,数学に於ける「集合」の,様々な見方や考え方・扱い方を導くように心掛けた。4~13章は標準的な位相空間の話題を取り上げる。4~6章で用語の準備を進めたのち,7章以降から重要な空間・写像・位相を続々と導入する。14章と付録Aは他の本では扱われることの少ない話題である。自由度が大きくまとまりにくい話題だが,多くの重要な例を挙げた。付録Bは選択公理に関わる部分の証明をまとめたものである。本文でいくつか使われる議論で,読者の便利のためである。
本書の大きな特長は,演習問題の多彩さ,そして解説の丁寧さである。書籍全体で例題は130問ほど,演習問題は300問近く出題されるが、それら全問に対して懇切丁寧な解説を行なっている。問題解答のページは約60ページほどにものぼり,位相空間に関する類書と比較しても群を抜いているだろう。設問の多くは,本文を丁寧に読み進めれば独学でも取り組めるような基本的なものである。初めのうちは全てを解ききることは難しいかもしれないが,まずはペンを持って取り組み,解答例を見ながら納得し理解することで,「面白い」と感じてもらえることを期待している。全体を通して,平面や空間での概念を想像しやすいように,随所に図版を多用することで視覚的な理解にも配慮した。
口絵1
口絵2
口絵3
口絵4・5
はじめに
目次
第1章 集合と写像
1.1 条件により定まる集合
1.2 積集合，有限列
1.3 写像
1.4 列，集合の列
1.5 集合族
問1.1
問1.9
問1.14
問1.21
問1.29
第2章 可算集合，非可算集合
2.1 有限集合，可算集合
問2.1
問2.11
2.2 ℝの連続性，非可算集合
問2.12
問2.13
問2.17
2.3 ベルンシュタインの定理
問2.25
第3章 距離空間
3.1 距離空間とは
問3.1
問3.4
問3.15
問3.19
3.2 距離空間の開集合
問3.21
問3.23
第4章 位相空間
4.1 位相空間と開集合
問4.1
4.2 開基または準開基による位相の創成
問4.2
問4.3
第5章 基本近傍系
5.1 近傍と基本近傍系
5.2 基本近傍系による位相の創成
問5.1
第6章 閉集合，閉包，内部，境界
6.1 閉集合，閉包，内部，境界とは
問6.1
問6.6
問6.9
問6.10
問6.15
問6.16
問6.17
問6.18
問6.24
問6.36
6.2 ベールのカテゴリー定理
第7章 部分空間と相対位相
問7.1
問7.6
問7.9
問7.11
第8章 連続写像
8.1 連続写像とは
問8.1
問8.6
問8.13
8.2 同相写像
問8.14
問8.15
問8.17
8.3 ペアノ曲線
問8.18
8.4 位相の強弱
問8.19
問8.20
問8.21
第9章 積空間
問9.1
問9.2
問9.3
問9.4
問9.5
問9.10
問9.12
第10章 分離公理
10.1 分離公理の導入
10.2 T₁空間
問10.1
10.3 ハウスドルフ空間
問10.5
問10.7
10.4 正則空間
問10.12
10.5 正規空間
問10.16
第11章 コンパクト空間
11.1 コンパクト空間とは
問11.1
問11.5
問11.11
11.2 局所コンパクト空間
問11.14
問11.17
11.3 チコノフの定理
11.4 ストーン-チェック (Stone-Čech) のコンパクト化
問11.18
第12章 商空間
12.1 同値関係とは
問12.1
問12.2
問12.7
問12.13
問12.18
12.2 同値関係による空間の構成
問12.22
問12.23
問12.25
問12.29
12.3 射影空間 Pⁿ(ℝ), Pⁿ(ℂ)
第13章 連結空間
13.1 連結空間とは
問13.1
問13.2
問13.3
問13.6
問13.10
問13.15
問13.17
13.2 連結成分
問13.18
問13.21
問13.23
13.3 ホモトピー
問13.26
問13.27
問13.28
第14章 ペアノ連続体
問14.1
問14.2
問14.3
問14.5
問14.6
問14.7
付録A 分解不可能連続体
問A.1
付録B 整列定理，ツォルンの補題
B.1 ツォルンの補題と順序集合の極大原理
B.2 整列集合
B.3 選択公理とツォルンの補題
B.4 整列可能定理
解答篇
1.1
1.7
1.15
1.20
1.25
2.1
2.2
2.16
2.25
3.3
3.12
3.17
3.19
3.25
3.27
4.2
5.1
6.4
6.9
6.13
6.18
6.25
6.33
6.40
7.1
7.6
7.12
8.4
8.7
8.13
8.20
9.1
9.4
9.10
10.1
10.8
10.15
10.17
11.4
11.8
11.11
11.13
12.3
12.10
12.15
12.18
12.21
12.24
12.26
12.30
13.6
13.13
13.18
13.22
13.26
13.27
14.3
14.7
おわりに
索引
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<span>現代数学の基礎の一つである一般位相への入門書距離空間から始め、ユークリッド空間の部分集合や関数空間などの例を多く挙げて解説した。</span>
<b>位相空間論の基礎を学び、そこから見える数学の世界にも触れられる入門書。</b> 豊富な例を取り入れ、直感的な理解が論理的な理解に結びつくよう配慮しながら、丁寧な解説がなされています。数式を示すばかりではなく、「なぜこの概念を考えるのか」「なぜ一般化するのか」といったことも書かれているので、位相の面白さや有用性を感じながら読むことができます。 やや発展的な内容として、解析学などで重要となるパラコンパクト空間の性質を解説しています。また、可分距離空間の幾何学や代数的トポロジーについても言及し、最終章ではフラクタル集合の構成法も紹介しています。 多くの練習問題と解答も掲載。 現代数