代数学の華　ガロア理論

✍ Scribed by 冨田佳子

• Publisher: 現代数学社
• Year: 2019
• Tongue: Japanese
• Leaves: 777
• Category: Library

✦ Table of Contents

はじめに
第0章　序章
0.1 群と環と体(groups,rings,fields)
0.2 部分環，部分体，部分加群(subrings,subfields,submodules)
0.3 イデアル(ideals)
0.4 写像と準同型写像(maps and homomorphisms)
0.5 体の標数(The characteristic of a field)
第1章　多項式環と拡大体
1.1 多項式環の生成
1.2 商環の生成
1.3 多項式環 (Polynomial rings) の性質
1.4 拡大体 (Extension fields)
1.5 拡大体の生成
1.6 部分集合で生成された環 (The subring generated by a subset)
1.7 部分集合で生成された体 (The subfield generated by a subset)
1.8 代数的な元と代数的でない元 (algebraic and transcendental elements)
第2章　代数的閉体と splitting field
2.1 代数的閉体 (algebraically closed fields)
2.2 拡大体の $F$-homomorphism
2.3 splitting fields (最小分解体)
2.4 multiple roots
第3章　ガロア拡大とガロア群
3.1 fixed fields (固定体)
3.2 separable 拡大と normal 拡大
3.3 ガロア理論の基本定理 (The fundamental theorem of Galois Theory)
3.4 ガロア拡大の例
3.5 多項式のガロア群
3.6 多項式の可解性 (solvable in radicals)
3.7 多項式のガロア群が A_n に含まれるとき
3.8 多項式のガロア群が transitive であるとき
3.9 2次，3次の多項式のガロア群
3.10 4次の多項式のガロア群
3.11 p次の多項式のガロア群が S_p となるとき
3.12 有限体上のガロア拡大とガロア群
3.13 Q上のガロア群の計算
第4章　solvable
4.1 simple 拡大の primitive elements
4.2 代数学の基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)
4.3 Dedekind (デデキンド) の定理
4.4 円分多項式 (cyclotomic polynomials) と円分拡大 (cyclotomic extensions)
4.5 the normal basis theorem
4.6 Hilbert (ヒルベルト) の定理90
4.7 巡回拡大 (cyclic extensions)
4.8 Kummer(クンマー) 拡大
4.9 solvable tower
4.10 2次，3次，4次の多項式の solvable tower
第5章　一般多項式
5.1 SYMMETRIC POLYNOMIALS THEOREM
5.2 SYMMETRIC FUNCTIONS THEOREM
5.3 一般多項式のガロア群
第6章　作図
6.1 constructible number と作図可能 (constructible)
6.2 正p角形 (pは素数) の作図
6.3 正n角形の作図
第7章　別冊
7.1 ツォルンの補題
7.2 イデアル (ideal)
7.3 UFD1
7.4 UFD2
7.5 1を作る定理
7.6 体の乗法群の有限な部分群は巡回群
7.7 正規部分群
7.8 準同型定理
7.9 S_n
7.10 n \geq 5 のときの S_n の正規部分群と A_n の単純性
7.11 linear map (線型写像)
7.12 行列
7.13 行列式
7.14 固有値
7.15 trace(トレース)，norm(ノルム)，固有多項式
7.16 コチェイン
7.17 exact sequence (完全列)
7.18 solvable
7.19 normal base (正規底)
7.20 作用とオービット・シローの定理
7.21 Hom(G, μ_n)
7.22 アーベル群の基本定理 (1)
7.23 アーベル群の基本定理 (2)
7.24 G_{f_} >G_{\bar{f}_}
第8章　注釈
< 1.3-1 >
< 1.3-2 >
< 1.4-1 >
< 1.4-2 >
< 1.5-1 >
< 1.8-1 >
< 2.2-1 >
< 2.2-2 >
< 3.1-1 >
< 3.1-2 >
< 3.1-3 >
< 3.2-1 >
< 3.2-2 >
< 3.2-3 >
< 3.2-4 >
< 3.2-5 >
< 3.2-6 >
< 3.2-7 >
< 3.3-1 >
< 3.3-2 >
< 3.3-3 >
< 3.3-4 >
< 3.3-5 >
< 3.3-6 >
< 3.3-7 >
< 3.4-1 >
< 3.4-2 >
< 3.7-1 >
< 3.7-2 >
< 3.7-3 >
< 3.9-1 >
< 3.9-2 >
< 3.9-3 >
< 3.10-1 > p.234
< 3.10-2 > p.236
< 3.10-3 > p.236
< 3.10-4 > p.246 (ここだけ変則的に後付けされている)
< 3.10-5 > p.242
< 3.10-6 > p.242
< 3.10-7 > p.243
< 3.10-8 > p.243
< 3.10-9 > p.244
< 3.11-1 >
< 3.11-2 >
< 3.11-3 >
< 3.11-4 >
< 3.11-5 >
< 3.12-1 >
< 3.12-2 >
< 4.1-1 >
< 4.1-2 >
< 4.2-1 >
< 4.4-0 >
< 4.4-1 >
< 4.4-2 >
< 4.4-3 >
< 4.4-4 >
< 4.4-5 >
< 4.4-6 >
< 4.4-7 >
< 4.4-8 >
< 4.6-1 >
< 4.6-2 >
< 4.6-3 >
< 4.6-4 >
< 4.6-5 >
< 4.7-1 >
< 6.2-1 >
< 6.2-2 >
参考文献
謝辞
索引