ガロア理論の頂を踏む

✍ Scribed by 石井俊全

• Publisher: ベレ出版
• Year: 2013
• Tongue: Japanese
• Leaves: 505
• Category: Library

✦ Synopsis

ピークへの過程に出てくる定理には、証明が全て書いてあります。一番易しいルートを選択しながら、最初から最後まで、同じ丁寧さで解説していきます。

✦ Table of Contents

表紙
はじめに
目次
第1章　「整数」
1. 最大公約数を求める ▶ユークリッドの互除法
定理1.1 互除法の原理
定理1.2 1次不定方程式
定理1.3 1次不定方程式
2. 余りの計算▶剰余類
定義1.1 合同式
定義1.2 合同式
定理1.4 合同式の性質
3. 正六角形を回転させよう▶巡回群
定義1.3 群の定義
4. 群が同じということ▶群の同型
定義1.4 群の同型
5. 一部の元でも群になる▶部分群
定理1.5 巡回群の部分群
6. 2つの群から群を作る▶群の直積
定義1.5 群の直積
定理1.6 中国剰余定理
定理1.7 中国剰余定理：３数
定理1.8 Z / nZ の分解
7. 掛け算だって群になる！▶既約剰余類群
定義1.6 既約剰余類群
8. (Z / p^nZ ) は直積で書けるか？▶既約剰余類群の構造分析
定理1.9 既約剰余類の分解
定義1.7 オイラー関数
定理1.10 既約剰余類の元の個数
9. (Z / pZ ) は，巡回群である▶原始根で生成
定理1.11 F_p 上の１次方程式
定理1.12 F_p 上での剰余の定理
定理1.13 F_p 上での因数定理
定理1.14 F_p 上の方程式の解の個数
10. 素数 p の原始根は確かにある▶原始根の存在証明
定理1.15 \alpha が生成する巡回群
定理1.16 原始根の存在
定理1.17 (Z / pZ ) は巡回群
11. 既約剰余類群を解剖する▶(Z / pZ )の構造
定理1.18 (Z / 2^n Z ) の構造
定理1.19 (Z / p^n Z ) の構造
定理1.20 既約剰余類群の構造
第2章　「群」
1. 正三角形の対称性を調べる▶二面体群
定理2.1 g による入れ替え
定理2.2 g が部分集合に作用
定義2.1 二面体群
2. 部分群から剰余類を作る▶一般の剰余群
定理2.3 剰余類
定理2.4 ラグランジュの定理
定理2.5 位数乗は単位元
定理2.6 フェルマーの小定理，オイラーの定理
定理2.7 剰余類の単位元
3. 立方体の対称性を調べよう▶S(P_6)
定理2.8 剰余群
定理2.9 巡回群の剰余群は巡回群
定理2.10 半分の部分群は正規部分群
4. 同型写像じゃなくたって▶準同型写像
定義2.2 群の準同型写像
定理2.11 Im f は群
定理2.12 Ker f は群
定理2.13 準同型定理
5. 同型を作ろう▶第２同型定理，第３同型定理
定理2.14 部分群であるための条件
定理2.15 部分群の演算
定理2.16 第2同型定理
定理2.17 第3同型定理
6. あみだくじのなす群▶対称群 S_n
定理2.18 置換は互換の積
定理2.19 対称群の生成元
定理2.20 置換の奇偶性
定理2.21 交代群
定理2.22 交代群と対称群
定理2.23 交代群は三換の積
定理2.24 交代群の生成元
7. 巡回群の入れ子構造▶可解群
定義2.3 可解群
定理2.25 巡回群の直積は可解群
定理2.26 交代群の非可解性
定理2.27 可解群の部分群も可解群
定理2.28 対称群の非可解性
定理2.29 準同型写像の像でも可解群
定理2.30 剰余群も可解群
第3章　「多項式」
1. 基本対称式で表そう▶対称式
定理3.1 対称式の基本定理
2. 多項式における素数▶既約多項式
定理3.2 F_p上の多項式は整域
定理3.3 有理数係数多項式の既約性，これの対偶
定理3.4 Eisenstein の判定条件
3. 整数と多項式のアナロジー▶多項式の合同式
定理3.5 多項式の1次不定方程式
定理3.6 既約多項式の性質
4. 既約多項式で割っても体▶Q[x]/(f(x))
定理3.7 既約多項式による体
第4章　「複素数」
1. 2次方程式から複素数が出てくる▶複素数
定理 代数学の基本定理
定理4.1 共役複素数の計算法則
定理4.2 共役と組み合わせると実数
定理4.3 共役複素数はまた解
2. 複素数が活躍する舞台▶複素平面
定理4.4 複素数の積における絶対値と偏角
定理4.5 複素数の商における絶対値と偏角
定理4.6 複素数のn乗
3. 円をn等分する点▶1のn乗根
定理4.7 1のn乗根
定理4.8 複素数のn乗根
定理4.9 1の原始n乗根
4. 1の原始n乗根を解に持つ方程式▶円分多項式
定義4.1 円分多項式
定理4.10 素数次の円分多項式
定理4.11 1のn乗根の和の公式
5. n次方程式には必ず解がある▶代数学の基本定理
定理4.12 代数学の基本定理
定理4.13 複素数係数2次方程式の解の存在
定理4.14 実数係数多項式の解の存在
定理4.15 複素数係数方程式の解の存在
定理4.16 代数学の基本定理：因数分解バージョン
6. nが合成数でも円分多項式は既約▶ \phi(x) の既約性の証明
定理4.17 mod pでの p乗
定理4.18 解から解を作る
定理4.19 円分多項式の既約性
第5章　「体と自己同型写像」
1. 無理数の計算を簡単にしよう▶Q(\sqrt{3})の対称性
定義5.1 体の定義
定義5.2 体の同型写像
定理5.1 有理数は同型写像で不変
2. この計算どこかで見たぞ▶Q[x]/(f(x)) \cong Q(\alpha)
定理5.2 最小多項式と既約多項式
定理5.3 単拡大体Q(\alpha)の元の表現の一意性
定理5.4 多項式の剰余類群と単拡大体
3. 同型はn個▶Q(\alpha_1) \cong Q(\alpha_2) \cong \cdots \cong Q(\alpha_n)
定理5.5 f(x) が引き起こす同型
定理5.6 同型写像と有理関数は順序交換可能
定理5.7 同型写像は解を共役な解に移す
定理5.8 同型写像は解の置換を引き起こす：解のシャッフル
定理5.9 Q(\alpha_i)の同型
定理5.10 Q(\alpha)に作用する同型写像はn個
4. 体の次元を捉えよう▶線形代数の補足
定義5.3 線形空間
定義5.4 1次独立・1次従属の定義
定理5.11 1次独立・1次従属
定義5.5 基底の定義
定理5.12 表現の一意性
定理5.13 基底の完全性
定理5.14 Q(\alpha)の基底
定理5.15 線形空間の次元
定義5.6 次元
定理5.16 線形空間の一致
5. 方程式の解を含む体▶最小分解体 Q(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n)
定義5.7 最小分解体
定理5.17 同型写像が自己同型写像になる条件
定理5.18 自己同型写像の積も自己同型写像
定理5.19 自己同型群
6. 4次方程式の例▶中間体
7. 2段拡大▶Q(\alpha, \beta)
定理5.20 次元の積公式
定理5.21 同型写像の延長
定理5.22 Q(\alpha, \beta)に作用する同型写像
8. 固定群と固定体が対応してる！▶ガロア対応
定理5.23 固定体
定理5.24 固定群
9. 拡大体はすべて単拡大体▶Q(\alpha_1, …, \alpha_n) = Q(\theta)
定理5.25 原始元の存在
定理5.26 代数的拡大体は単拡大体
定理5.27 最小分解体は単体拡大
10. 同型写像ではみ出ない▶ガロア拡大体
定理5.28 (最小分解体の次数) = (ガロア群の位数)
定義5.8 ガロア拡大
定理5.29 Q(\alpha) がガロア拡大体になる条件
11. ２段拡大理論で証明しよう▶ガロア対応の証明
定理5.30 最小分解体の正規性
定理5.31 Mのガロア群
定理5.32 次数公式
定理5.33 ガロア対応 Mから始めて
定理5.34 ガロア対応 Hから始めて
12. M/Q はガロア拡大か？▶中間体がガロア拡大体になる条件
定理5.35 \sigma(M) と \sigma H \sigma^{-1} の対応
定理5.36 中間体がガロア拡大体になる条件
第6章　「根号で表す」
1. １の n乗根をベキ根で表す▶円分方程式の可解性
定理6.1 １の n乗根のベキ根表現
2. ３次方程式をベキ根で解く▶３次方程式の解の公式
3. ３次方程式のガロア対応を調べよう▶ベキ根拡大
4. ４次方程式をベキ根で解こう▶４次方程式の解の公式
5. ４次方程式のガロア対応を調べよう▶累巡回拡大体
定理6.2 可解群と累巡回拡大の対応
6. １のベキ根の作る体▶円分体とガロア群
定理6.3 円分体のガロア群
7. x^n - a = 0 の作る拡大体▶クンマー拡大
定理6.4 ベキ根拡大から巡回拡大を作る
8. 巡回拡大は x^n - a = 0 で作れる▶巡回拡大からベキ根拡大へ
定理6.5 巡回拡大からベキ根拡大を作る
定理6.6 デデキントの補題
定理6.7 ベキ根拡大を作るベキ根の存在
9. ピークの定理に立とう！▶ベキ根で解ける方程式の条件
ピークの定理
定理6.8 可解群のとき解はベキ根で表される
定理6.9 累ベキ根拡大体のガロア閉包
定理6.10 解がベキ根で表されるときは可解群
10. ５次方程式の解の公式はない▶ガロア群が可解群でない方程式
定理6.11 位数 p の元の存在―コーシーの定理
おわりに
参考文献
索引
奥付