✍ Scribed by 柴田良弘
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ほぼ全ての定理に厳密な証明を与える
序
§1 準備
1.1 集合演算
1.2 写像
1.3 可算集合
1.4 実数の運続性
p進法展開
1.5 R^n の位相
Bolzano-Weierstrassの性質
Cauchyの性質
1.6 リーマン積分
Q
A 1.1-1.6
A 1.7-1.8
§2 n次元ユークリッド空間上のルベーグ測度と外測度
2.1 測度の定義
2.2 R^n の区間とその体積
2.3 ルベーグ外測度とカントール集合
2.4 ルベーグ可測集合
2.5 ルベーグ測度の性質
2.6 ルベーグ測度の特徴付け
2.7 ルベーグ測度に関するいくつかの話題
ツェルメロ (Zermelo) の公理
Solovay の公理
Q
A
§3 一般集合上での測度と外測度
3.1 外測度の構成
3.2 外測度からの測度の構成
3.3 カラテオドリ-ハーンの拡張定理
3.4 ルベーグ-スチルチェス測度
3.5 ハウスドルフ外測度
Q
A
§4 ルベーグ積分
4.1 可測関数
4.2 非負関数に対するルベーグ積分
4.3 一般関数に対するルベーグ積分
定理4.3.7 (ルベーグの収束定理： Lebesgue's dominated convergence theorem)
Xの部分集合上でのルベーグ積分
定理4.3.10 (ルベーグの有界収束定理： Lebesgue's bouded convergence theorem)
4.4 リーマン積分とルベーグ積分の関係
Q
A
§5 フビニの定理
5.1 積測度
5.2 集合についてのFubiniの定理
5.3 関数に対するFubiniの定理
5.4 完備化された積測度に対するFubiniの定理
5.5 ユークリッド空間上の積測度
5.6 変数変換
測度 \sigma_n の構成
Q
A
§6 測度の分解と微分
6.1 不定積分
6.2 集合関数
定理6.2.6 (Hahnの分解定理： The Hahn decomposition theorem)
6.3 Lebesgue-Radon-Nikodym の定理
6.4 ルベーグの微分に関する定理
6.5 有界変動関数
Q
A 6.1-6.9
A 6.10-6.14
§7 ルベーグ空間
7.1 バナッハ空間と準バナッハ空間の定義
7.2 L^P 空間の定義と基本的な性質
7.3 L^P の双対空間
7.4 有用な不等式について
チェビシェフの不等式 (Chebyshev's inequality)
7.5 収束の様式について
7.6 分布関数と weak L^p 空間
7.7 L^P空間の補間
Q
A
§8 Fourier変換と Fourier Multiplier Theorem
8.1 急減少関数のクラス \mathscr{S} とFourier変換
8.2 緩増加超関数のクラスでのFourier変換
\mathscr{S} \prime (R^n) 上での Fourier変換，Fourier逆変換
L^p の元のFourier変換
\mathscr{S} \prime (R^n) の元の微分
\mathscr{S} \prime (R^n) の元と関数の積
\mathscr{S} \prime 上での微分と Fourier 変換の関係
8.3 Fourier Multiplier Theorem
8.4 Fourier multiplier 作用素の Hölder 連続性
8.5 Sobolev の埋蔵定理
8.6 ストークス方程式のレゾルベント問題
Q
A 8.1-8.6
A 8.7-8.16
演習問題の略解
記号一覧および重要な命題，定理等
§1, pp.1-13
§1, p.14 - §3, p.67
§6, p.178; §2, p.51 - §4, p.100
§4, pp.91-122
§5, p.134 - §6, p.205
§6, p.209 - §7, p.291
§7, p.302 - §8, p.344
名称未設定
欧字先頭語索引
和文索引
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