ルベグ積分入門

✍ Scribed by 吉田洋一

• Publisher: 筑摩書房
• Year: 2015
• Tongue: Japanese
• Leaves: 373
• Series: ちくま学芸文庫 青ヨ-13-2
• Category: Library

✦ Table of Contents

まえがき
目次
この本のよみかた
I. 序説―積分概念の展開―
§1. 積分法と微分法
§2. 連続函数の原始函数
§3. 連続函数の定積分
§4. リーマン積分
§5. ルベグ積分
§6. ルベグ積分の抽象化
II. 実数・点集合・函数
§1. 集合
§2. 実数
§3. 函数・写像
§4. 逆写像・1対1の対応
§5. 可付番集合
§6. 可付番集合のいろいろ
§7. 集合の結びと交わり
§8. 開集合
§9. 開集合の構造
§10. 閉集合
§11. 無限大の記号
§12. 数列の極限値
III. ルベグ測度
§1. 測度の問題
§2. 外測度
§3. Borel-Lebesgue の被覆定理
§4. 区間についての諸定理
§5. 外測度の定義
§6. 可測集合
§7. 可測な集合の例
§8. 可測集合族
§9. 測度
§10. 測度についての諸定理
§11. 等測包
§12. 零集合
IV. 可測函数
§1. 連続函数
§2. 可測函数
§3. 可測函数の加減乗除
§4. 可測函数列
§5. 単函数
§6. 単函数と特性函数
§7. Lusinの定理
V. ルベグ積分
§1. 正値函数の積分
§2. 正値函数の積分の性質
§3. 単函数列の項別積分
§4. 正値函数の和の積分
§5. 積分可能な函数
§6. 項別積分の定理
§7. 不定積分
§8. ルベグ積分とリーマン積分
§9. 積分と原始函数
§10. 積分の定義再説
VI. 微分法と積分法
§1. 微分法と積分法の問題
§2. Vitaliの被覆定理
§3. Diniの導来数
§4. 増加函数と微分法
§5. 増加函数の導函数の積分
§6. 不定積分と微分法
§7. 有界変動の函数
§8. 絶対連続な函数
§9. 原始函数と不定積分
VII. 多変数の函数の積分
§1. 平面上の点集合
§2. R^2における測度・外測度
§3. 2変数函数のルベグ積分
§4. Fubiniの定理
§5. 連続写像
§6. 合同な点集合と外測度
§7. 縦線集合と積分
VIII. 測度空間
§1. ルベグ・スティルチェス測度
§2. |I|_g についての定理
§3. g可測集合と g測度
§4. ルベグ・スティルチェス積分
§5. 測度空間
§6. 完備測度空間
§7. 外測度の構成
§8. 可測集合と測度の設定
IX. 測度空間における集合函数
§1. 加法的集合函数
§2. Jordan分解
§3. 絶対連続な集合函数
§4. Radon-Nikodymの定理
X. 直積測度空間とFubiniの定理
§1. 直積測度空間
§2. 完備直積測度空間
§3. 測度λの積分表示
§4. {X×Y, \mathscr{L}, λ} におけるFubiniの定理
§5. 最小直積測度空問
§6. {X×Y, \mathscr{U_0}, λ_0} におけるFubiniの定理
付録 反例そのほか
§1. [a,b]でfがR積分可能ならば，fは[a,b]で有界でなければならない(I. §4. 注意1. 24ページ).
§2. fが[a,b]でR積分可能なとき，ψ(x)=\int_a^x f(t)dt は f の不連続点では微分できないことがある(I. §4. 25ページ).
§3. fが[a,b]で有界で，しかも原始函数をもっていても，R積分可能とは限らない(I. §4. 3).
§4. f_nが[a,b]でR積分可能でf=lim_n f_n が有界でも， fは[a, b]でR積分可能とは限らない(I. §4. 4).
§5. f_n (n=1, 2, …) およびf=lim_n f_n が [a,b]でR積分可能でも，(I. §4. 4)
§6. 可測でない集合(III. §1)
§7. ルベグ可測な集合はボレル集合であるとは限らない(Ill,§8. VIII. §3. §6).
§8. fおよびgがAでL積分可能でもf・gがAでL積分可能であるとは限らない(V. §5. 注意4. 164ページ).
§9. いつでも lim_n(L) \int_A f_n(x)dx= (L) \int_A Iim_n f_n(x)dx とは限らない (V. §6, 注意1).
§10. 函数fが[a,b]で微分可能でもf'が[a,b]でL積分可能とは限らない(VI. §9. 注意1).
§11. fがR^2からR^2の上への連続写像のとき，開集合Gの像f(G)が開集合であるとは限らない(VII. §5, 注意l. 244ページ)
§12. p進記法(Ill, §12)
参考書について
問の答
II. 実数・点集合・函数
Ill. ルベグ測度
IV. 可測函数
V. ルベグ積分
VI. 微分法と積分法
VII. 多変数の函数の積分
VIII. 測度空間
IX. 測度空間における集合函数
X. 直積測度空間とFubiniの定理
文庫版解説　赤攝也
索引