リーマン積分からルベーグ積分へ: 積分論と実解析

✍ Scribed by 小川 卓克

• Publisher: サイエンス社
• Year: 2022
• Tongue: Japanese
• Leaves: 185
• Series: SGCライブラリ 180
• Category: Library

✦ Synopsis

Riemann積分を起点に広義積分を導入し,広義積分と上半レベル集合によってLebesgue積分を定義し,Lebesgue積分を基礎とした微積分学の再構築とそこから得られる解析学的応用の糸口までの解説を試みる.

✦ Table of Contents

はじめに
第0章　序章 積分論の導入
第1章　Riemann積分概説
1.1　実数と上限下限
1.2　Riemann和とRiemann積分
1.3　Jordan測度
1.4　広義積分
1.5　Cauchyの主値と複素積分との関係
第2章　Lebesgue測度
2.1　完全加法的測度
2.2　Rnに対する外測度とLebesgue測度
2.3　R上のLebesgue測度
2.4　零集合に対する注意
第3章　Lebesgue積分
3.1　可測函数
3.2　Lebesgue積分の定義
3.3　Lebesgue積分の基本的性質
第4章　Lebesgue積分と収束定理
4.1　Beppo Leviの単調収束定理
4.2　Lebesgueの優収束定理
4.3　L¹の完備性
4.4　一様収束との関連
4.5　平均収束，測度収束，概収束
4.6　Fatouの補題の欠損項に関するBrezis-Liebの補題
第5章　Lebesgue非可測集合とBorel集合体
5.1　Legesgue非可測集合の存在
5.2　Borel集合とσ集合体
5.3　Luzinの定理
5.4　Caratheodoryの判定条件
第6章　直積測度とFubiniの定理
6.1　単調族とσ集合体
6.2　直積空間と直積測度
6.3　Fubini-Tonelliの定理
第7章　Radon-Nikodymの定理
7.1　絶対連続測度と特異測度
7.2　絶対連続函数と有界変動函数
第8章　Lebesgue空間Lpの性質
8.1　Legesgue空間Lp(Ω)
8.2　Hölderの不等式
8.3　Lpの完備性と稠密性
8.4　Lp空間の双対空間と弱収束
8.5　L¹での弱収束とDunford-Pettisの定理
8.6　函数解析学からの補遺
第9章　極大函数とHardy-Littlewoodの定理
9.1　極大函数
9.2　Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式
第10章　函数の再配列とLorentz空間
10.1　函数の再配列(rearrangent)
10.2　Lorentz空間
あとがき
参考文献
索引
欧アカ
サタナハヤラ