ガウスの楕円関数論（高木貞治先生著 “近世数学史談” より）

✍ Scribed by 河田敬義

• Publisher: 上智大学数学教室
• Year: 1986.11
• Tongue: Japanese
• Leaves: 195
• Series: 上智大学数学講究録 24
• Category: Library

✦ Table of Contents

まえがき
目次
§1. lemniscate関数 s(u), c(u)
I. 定義
II. 加法定理
§2. lemniscate関数の無限積展開(関数 M(U), N(u), … の導入)
I. 予備的考察
lI. 関数 M(u), N(u) の定義
III. M(u), N(u) の擬周期性と公式(10) の証明
§3. lemniscate関数の無限積展開2(θ関数 P(u), Q(u), …の導入)
I. 関数P(u), Q(u)の定義
II. 擬周期性
§4. 擬二重周期性関数と保型因子
I. 諸定義
II. いくつかの例
III. 基本的な擬二重周期関数
IV. θ関数 P(u), Q(u) の無限和表示
§5. θ関数の諸性質
I. θ関数の定義
II. 諸性質
III. 2次の関係式
§6. θ関数の変換公式
I. 変換公式
lI. 証明
§7 Jacobi の楕円関数
I. 定義
II. 加法定理
III. 導関数と積分表示
§8 lemniscate 関数と Jacobi の楕円関数
I. s(u), c(u) と sn, cn, dn との関係 (k=i の場合)
II. τ=i とした場合
III. τ=1+i とした場合
IV. H_0, H_1, H_2, H_3
§9. 母数(modulus)と算術幾何平均
I. 算術幾何平均
II. 算術幾何平均とθ関数
III. Gaussの "広義のlemniscate関数"
§10. modular関数 λ(τ), J(τ)
I. modular関数 λ(τ)=k^2(τ)
II. modular関数 J(τ)
III. Γ と Γ(2) の基本領域
IV. J (およびλ) の D(およびD(2))における値分布
V. τ, λ, J および θ^2_3, θ^2_0, θ^2_2 の対応
§11 代数曲線(楕円曲線)
I. 一般論
II. Jacobiの楕円関数と楕円曲線
III. 楕円曲線の標準形
IV. いくつかの例
V. sn, \wp による写像
§12. 19世紀後半の楕円関数論
I. Weierstrassの \wp 関数
II. Riemann 面上の関数論
附録 Gauss日記より
Gauss日記への註
参考文献