ガウス 整数論 (Disquisitiones Arithmeticae)

✍ Scribed by カール・フリードリヒ・ガウス (Karl Friedrich Gauss), (訳) 高瀬正仁

• Publisher: 朝倉書店
• Year: 1995
• Tongue: Japanese
• Leaves: 535
• Series: 数学史叢書
• Category: Library

✦ Synopsis

天才ガウスが心魂を傾けて書いた整数論の聖典。ラテン語原典からの、本邦初の完訳。

✦ Table of Contents

序
目次
ブラウンシュヴァイク公・リューネブルク公　カール・ヴィルヘルム・フェルディナント殿下に捧げる．
緒言
第1章　数の合同に関する一般的な事柄 [1-12]
合同な数，法，剰余と非剰余 [1-3]
1-2
3
最小剰余 [4]
合同に関する基礎的諸命題 [5-11]
5-8
9-11
若干の応用 [12]
第2章　一次合同式 [13-44]
素数，約数，等々に関する予備的諸定理 [13-25]
13-14
15-16
17-18
19-20
21-23
24-25
一次合同式の解法 [26-31]
26
27
28-29
30
31
いくつかの与えられた法に関していくつかの与えられた剰余と合同な数の探索について [32-36]
32
33
34-35
36
多くの未知数を含む一次合同式 [37]
種々の定理 [38-44]
38
39
40
41
42
43
44
第3章　冪剰余 [45-93]
1から始まる幾何数列の諸項の剰余は周期系列をなす [45-48]
45-46
47-48
まず初めに素数の法が考察される [49]
フェルマの定理 [50-51]
50
51
数p-1のある与えられた約数に等しい項数をもつ周期に対応する数の個数 [52-56]
52
53
54-55
56
原始根，基底，指数 [57]
指数のアルゴリズム [58-59]
58
59
合同式 x^n≡A の根について [60-68]
60-61
62
63-64
65
66-67
68
相異なる指数系における指数の関係 [69-71]
69-70
71
特別の用途のために利用されるべき基底 [72]
原始根を指定する方法 [73-74]
73
74
周期と原始根に関する種々の定理 [75-81]
75
76
77-78
79-81
素数の冪である法について [82-89]
82-83
84-85
86
87
88
89
2の冪である法 [90-91]
90
91
いくつかの素数から合成されている法 [92-93]
92
93
第4章　二次合同式 [94-152]
平方剰余と平方非剰余 [94-95]
94
95
法が素数のときにはいつでも，その法よりも小さな剰余の個数は非剰余の個数に等しい [96-97]
96
97
ある合成数がある与えられた素数の剰余であるか非剰余であるかという問いは，その［合成数の］諸因子の性質に依存する [98-99]
98
99
合成数の法について [100-105]
100
101-102
103
104
105
ある与えられた数が，ある与えられた素数の剰余になるか，それとも非剰余になるかという状勢に関する一般的判定基準 [106]
その剰余もしくは非剰余が与えられた数になるという性質をもつ素数に関する研究 [107]
剰余 -1 [108-111]
108-109
110-111
剰余 +2 と -2 [112-116]
112
113
114-115
116
剰余 +3 と -3 [117-120]
117
118
119-120
剰余 +5 と -5 [121-123]
121-122
123
±7について [124]
一般的研究に向かう準備 [125-129]
125
126
127-128
129
帰納的考察を通じて一般（基本）定理が確立され，そこからさまざまな結論が取り出される [130-134]
130
131
132
133
134
基本定理の厳密な証明 [135-144]
135-136
137-139
140-141
142-144
第114条の定理を証明するための類似の方法 [145]
一般問題の解決 [146]
ある与えられた任意の量を剰余（あるいは非剰余）とするすべての素数を包摂する一次形式について [147-150]
147
148
149
150
これらの研究に関する他の人々の仕事について [151]
非純粋二次合同式について [152]
第5章　二次形式と二次不定方程式 [153-307]
研究のテーマ．形式の定義と表示記号 [153]
数の表現判別式 [154]
形式 (a, b, c) による数 M の表現が所属する表示式 \sqrt{bb-ac} (mod. M') の値 [155-156]
155
156
他の形式を含む形式と他の形式に含まれる形式．正式変換と非正式変換 [157]
正式同値性と非正式同値性 [158]
反対形式 [159]
隣接形式 [160]
形式の係数の公約数 [161]
ある与えられた形式から［もう一つの］与えられた形式へのあらゆる同種変換の間の関係 [162]
アンビグ形式 [163]
ある形式が他の形式に同時に正式かつ非正式に含まれるという場合に関する一つの定理 [164-165]
164
165
形式による数の表現に関する一般的な事柄および変換との関係 [166-170]
166
167
168
169
170
負の判別式をもつ形式について [171-181]
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
二つの平方数，単純平方数と2倍平方数，および単純平方数と3倍平方数への数の分解に対する特殊な応用 [182]
正の非平方数の判別式をもつ形式について [183-205]
183
184
185
186
187
188
189
190-191
192
193
194
195
196
197-198
199
200
201
202
203
204-205
平方数の判別式をもつ形式について [206]
206
207
208
209
210
211-212
他の同値ではない形式に包含される形式 [213-214]
213
214
判別式 0 をもつ形式 [215]
二つの未知数を含むすべての二次不定方程式の，整数による一般的解法 [216-221]
216
217
218
219
220
221
歴史に関する諸注意 [222]
■形式に関するいっそう精密な研究[223-265]
与えられた判別式をもつ形式の類への分配 [223-225]
223
224
225
類の目への分配 [226-227]
226
227
目の種への分割 [228-233]
228-229
230
231
232
233
形式の合成について [234-244]
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
目の合成 [245]
種の合成 [246-248]
246
247-248
類の合成 [249-251]
249
250
251
ある与えられた判別式に対して，同一の目の個々の種の中には等個数の類が含まれている [252]
相異なる目の個々の種に含まれている類の個数が比較される [253-256]
253
254
255
256
アンビグ類の個数について [257-260]
257
258
259
260
ある与えられた判別式に対して指定可能なあらゆる指標のうち，少なくとも半分に対しては正式原始的な（負の判別式に対しては，正の）種は対応しえない [261]
基本定理および剰余 +1, +2, -2 に関する他の諸定理の第二の証明 [262]
種が対応することのできない指標の半分が，いっそう精密に決定される [263-264]
263
264
素数を二つの平方数に分解する特別の方法 [265]
■寄り道．三元形式に関する研究 [266-285]
266
267
268
269
270-271
272
273
274
275
276
277
278-279
280
281
282
283
284
285
■二次形式の理論への若干の応用 [286-307]
2倍化すると，主種に所属するある与えられた二元形式が生じる，という性質を有する形式の探索について [286]
第 263, 264 条において不可能であることが判明したものを除いて，あらゆる指標に対して実際に種が対応する [287]
数と二元形式の三平方分解の理論 [288-292]
288
289
290
291
292
どの整数も三つの三角数もしくは四つの平方数に分解可能であるという，フェルマの定理の証明 [293]
方程式 axx+byy+czz =0 の解法 [294-295]
294
295
ルジャンドルが基本定理を取り扱った際に使用した方法について [296-298]
296
297
298
任意の三元形式による 0 の表現 [299]
2個の未知数を含む二次不定方程式の，有理量による一般的解法 [300]
種の平均個数について [301]
類の平均個数について [302-304]
302
303
304
正式原始類の固有のアルゴリズム．正則判別式と非正則判別式，等々 [305-307]
305
306
307
第6章　これまでの研究のさまざまな応用 [308-334]
308
分数の単純分数への分解 [309]
310-311
分数の小数への変換 [312-318]
312
313-314
315
316
317
318
掃き出し法による合同式 xx=A の解法 [319-322]
319
320
321
322
掃き出し法による不定方程式 mxx+nyy=A の解法 [323-326]
323
324
325
326
Aが負の場合に対して，合同式 xx≡A を解くためのもう一つの方法 [327-328]
327
328
合成数を素数から識別して，その諸因子を求めるための2通りの方法 [329-334]
329
330
331
332
333
334
第7章　円の分割を定める方程式 [335-366]
335
研究は，円が区分けされていくべき諸部分の個数が素数であるという，最も簡単な場合に帰着される [336]
全円周の一つの部分もしくはいくつかの部分である弧の三角関数に対する方程式．三角関数の，方程式 x^n-1=0 の根への還元 [337-340]
337
338-339
340
方程式 x^n-1=0 の根に関する理論（ここではnは素数と仮定されている）．根1を取り除くと，残る諸根(Ω)は方程式 X=x^{n-1}+x^{n-2}+…+x+1=0 に包摂されている．関数Xを，係数のすべてが有理数である低次の諸因子に分解することはできない [341]
今後の研究テーマが表明される [342]
根Ωの全体はいくつかの類（周期）に分配される [343]
根Ωの周期に関する種々の定理 [344-351]
344
345
346
347
348
349-350
351
方程式 X=0 の解法は上記の研究を土台として，その上に建設される [352-354]
352
353
354
根の周期に関するいっそう立ち入った研究．項数が偶数の和は実量である [355]
根Ωの，二つの周期への分配を定める方程式について[356]
第4章で言及された定理の証明 [357]
根Ωを三つの周期に分配するための方程式について [358]
根Ωを見つけるのに用いられる方程式の，純粋方程式への還元 [359-360]
359
360
上記の研究の三角関数への応用．各々の根Ωに対応する角度を識別する方法 [361]
正接，余接，正割および余割は，正弦と余弦から割り算を行なわずに導出される [362]
三角関数に対する方程式の次数を次々と下げていく方法 [363-364]
363
364
二次方程式を用いて，言い換えると，幾何学的構成を通じて遂行される円の分割 [365-366]
365
366
補記
表I (art. 58, 91)
表II (art. 99)
表III (art. 316)
ガウスの手書きのメモ
ルジャンドル『数論の試み』　第1版　序文
訳註
緒言
第1章
第2章
第3章
第4章
第5章
第6章
第7章
補記
ガウスの手書きのメモ
訳者後記
索引