Einleitung
Wir losen ier Anfangswertprobleme fur nichtlineare Differentia.&ichungen und -ungleichungen im HILBERT-RaUm mittels Aussagen der Theorie nichtlinearer Operatorgleichungen und -ungleichungen im HlLBERT-Raum [2, 3, 5-lo]. Neben Existenz-und Einzigkeitsaussagen fur Losungen werden vor allem numerische Verfahren (Iterations-, Projektions-und Projektions-Iterationsverfahren) zu ihrer niiherungsweisen Bestimmung begriindet. Die dabei erzielten Ergebnisse beziiglich Differentialgleichungen verallgemeinern einige der auf dem Kontraktionsprinzip basierenden Resultate der Arbeiten [ 11, 121 einee der Autoren und sind z. B. auf Rand-Anfangswertprobleme fur pseudoparabolische partielle Differentialgleichungen [ 191 und auf Probleme der optimalen Steuerung [ 131 anwendbar. Kluge,/Bruckner, Uber einige Klassen mit a 2 0, a fixiert. Dann gilt fur die Norm ([ ?L \ l a = l(u, ? I ) , -aT II 11 11n 5 I 1 '11 l IR 5 II w Iln-
Die mit dem Skalarprodukt (. , .), versehene Menge Ho bezeichnen wir rnit H , ( H , = L.,(e-2ar; 0, T ; H ) ) . Ha ist ein HILBERT-Raum. mit der Norm Den HANAcH-Raum aller auf YO, T] definierten stetigen abstrakten Funktionen lezeichnen wir mit C(0, T ; H ) . Element ze'(t,) E H derart existiert, daB Die abstrakte Funktion u ( t ) nenneii wir differenzierbar in to E [0, TI, wenn ein d u ( t ) u'(to) = 1 heifit Ableitung von u ( t ) in t o . df ' I -, ? 1.2. Wir untersuchen liier folgende Prpbleme (P,). Das Anfangswertproblem A ( 0 ) z (0) = r o E H fur die abstrakte Different ialgleirhung d dt A (1) s ( t ) = f ( t , W ) ) (1) mit A ( t ) , f ( t , . ) E ( H --+ H ) fur I E [ 0 , TI. glei c hung (P.). Dm Anfangswertprohiem ~( 0 ) = xl, E H fur die ahstrakte Differential-(P,,). Das Anfangswert~)ro~ileni A , (0) ~( 0 ) = ro E H fur die abstrakte Differentialgleichung d dt
A,(f) -A , (1)
alle t E [ 0 , TI (4) ( P 4 ) . Gesucht ist eine abstrakte Funktion s: [ 0 , TI -H derart, dai3 fur fast 1 ( A ( I ) z ( t ) -Z[, -J f ( s , X ( S ) ) ds, cz ( t ) 2 0 , v E K , c H , 0 mit der konvexen abgeschlossenen Teilmenge K , c H . Kluge/Bruckner, Uber einige Klassen 1 (P5). Gesucht ist eine abstrakte fur fast alle t differenzierbare Funktion ~( t ) : [0, TI 4 H derart, daB s ( 0 ) = s,, und fur fast alle t E [0, TI dt d ( dt A ( t ) -~( t ) -f ( f , ~( t ) ) .
2. Uber einige Eigenschaften yon Operatorenscharen
Wir formulieren Bedingungen an die Operatorenschar D ( t ) E ( H -H ) : (D), (CARATHEODORY-Redingung) : Fur jedes z E H ist D ( t ) x stark rneI3bar (D)?: Fur z ( t ) E L,(O, T ; H ) gilt D ( t ) z ( t ) E L2(0, T ; H ) (DE (H, -H o ) ) . (D):$: Fur fast alle f E [O, TI und eine feste Zahl A, gilt und fur fast alle t E [0, T] D ( t ) stetig. 11 D ( t ) x -D ( f ) y I/ 5 L, 11 zy I/ fur z, y E H . (D)4: Fur fast alle t E [ 0 , TI und eine feste Zahl r > 0 gilt ( D ( t ) .r -D ( t ) y, xy) 2 c I/ xyll? fur 5, y E H .
Hemerltung. (D):! bedeutet LIPscHITzstetigkeit und (.D)4 Htarke Monotonie von D ( t ) fur fast alle f mit von f unabhangiger LrPsCRrTzkonstanten L, bzw. Monotoniekonstanten c.