Auf die l'rage, was eine projektiv-meti.ische Ebene ist, gibt es verschicdenc Antworten. Oblichcrweise macht man (Line h'alhnterscheidung und definiert zunavhst ordinure und dann singulare projcktiv-mctrische Ebenen I n den ersteren ist einr pi'ojektive Polaritat gpgeben, in den letzteren auf piner ausgez-ichneten Geraden h c p r ojektive Involution Je nachdem, ob die Polaritkt selbstkonjugierte Punkte besitzt odrr nicht bzw. die Tnvoliition Fixpunkte odcr nirht, crhalt man vier Typen von prajektivmetrischen Ebenen. ordinar-liyperbolische, ordinar-elliptische, singular hyperbolische tint1 singular-elliptische (vgl z. B. [11) An dieser Antuort auf die oben gestrdte Frage kann man in zweierlei Hinsicht Kritik uben: Zum einen gibt sie keine einheitliche Charakterisierring einer projektiven Metrik, sondern beruht auf einer Falluntcrschcidung. Zum anderen umfaBt sie nieht allc Typen von projektiv-metrischen Ebenen. , 41s sidi F KLEIN [3) im vorigen Jahrhundert, eine 1de.c von A. CAYLEY aufgivifend, mit MaBbestimmungen in der reellen prsjektiven Ebene beschaftigte, entdcckte er nanilich auBer den vier genanntrn noch drei wcitcre projektiv-metrische Ebenen. Die Metriken definicrte er analytisch iinter Benutzung komplex-r Zahlen . Innerhalb dieser sieben projektiv-metrischen Ebenen charaktrrisierte F KLEIN dann gewisse ,,Eigentlivhkeit,s~)t.rciche" (von Geometrien) Seine Dcfinitionen sind etwas schwerfallig und ziim Tcil undurchsichtig I n dicser Arbeit geben wir eine einheitliche axiomatische Kennzeichnung der sieben Arten von IJrojektiv-mctrischeii Ebenen anohne Fallunterscheidung, rein synthetisch und verallg~~mcinert auf beliebige pappussche, fanosche projektive Ebencm Zu jedem Axiom gilt das duale, so daB nicht nur in der projektiven Geometrie, riondern aueh in der so definierten projektiv-metrischen Geometrie das Dualitatsprinzip gilt. Algebraisch lassen sjch diese projektiv-metrisrhen Ebenen uber metrischen T'ektorrbumen uber Korpern von Charakteristik += 2 darstellen (Theorem 1).
AbschlieBend geben wir eine elegante modelltheoretische Beschreibung dee sieben Arten von projektiv-metrischen Ebenen a n und charakterisieren gewisse Eigentlichkeitsbereiche, bei denen es sich im reellen Fall gensu urn die von F. KLEIN betrachteten Bereiche handelt (Theorem 2). Die vorliegende Arbeit kann man daher als erste systematische Rekonstruktion von F. KLEIN [3] ansehennamlich eine einheitliche Definition det; Begriffs projektiv-metrische Ebene anzugeben, die es gestattet, Eigentlichkeitsbereiche als ,,absolute Geometrien" zu definieren. I ) Herrn Dr. R. 8CIIN.4BEL, Universitat Kiel, danken wir fur viele Anregungen.