Bemerkungen über den Begriff der quasikonformen Abbildung. Herrn Professor HERBERT GRÖTZSCH zum 65. Geburtstag am 21. Mai 1967 gewidmet
✍ Scribed by Cabiria Andreian Cazacu
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1969
- Tongue
- English
- Weight
- 733 KB
- Volume
- 40
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
wobei Jtit die F'unktionaldeterminante der Abbilduiig bedeutet.
Eine quasikonforme Abbildung ist ein Hoinoomorphismus z = x ( 5 ) von e, so daB jedem in enthaltenen und relativ kompakten Cebiet (2,
entspriclit, fur die z ( 5 ) eine CJ-quasikonforme Abbildung von G, ist. max lzt cos p + zV sin p 11 5 Q J-,, , P Diese Abbildungen sind fast iiberall in (? differenherbar 1101 mit J Z i S 3-0.1) und mit lokal quadratisch integrierbaren 4 ) partiellen Ableitungen, ferner lokal meBbar >)), und ihre Umkehrungen sind auch quasikonform ( [ 5 ] S. 17, [6] S. 257). I n $ 1 dieser Arbeit untersuchen wir die Beziehung zwisclieri den Eigenschaften ( 1 ) und i), ii) (2), fur Hornoomorphismen, die sie nur langs eines Richtungsfeldes erfullen, das durch eine quasimodulare Kurvenfamilie definiert w i d . Eine Kurvenfamilie nennen wir modular, falls sie aus den RT' iveaulinien einer harmonischen Funktion besteht. die Losung oder Konjugierte der 1,osung eines Modulproblems ist. Die Kurvenfamilie heifit quasimoduliir, falls sie das Bild einer modularen Familie durch eirie quasikonforme Abbildung ist, [I21 S. 52.
In $ 2 benutzen wir eiue kontinuierliche angenaherte Form des Streifenprinzips von GROTZSCH, und zwar die Extremallange einer zulassigen Kurvenfamilie (nach A. BEORLING, L. V. AHLFORS, J. HERSCH, M. OHTSUKA u. a., [5] S. 138, [6] S. 239). Mittels der Formeln, die wir fur die Extremalliinge einer quasimodularen Kurvenfamilie gegebeii haben, [ 121 3 2, [ 131, [ 141, vertiefen wir die Eigenschaften der Homoomorphismen, die fast iiberall endliche partielle Ableitungen besitzen und zusammen mit ihren Umkehrungen lokal meBbar sind. Dadurch erhalten wir neue Charakterisierungen solcher Homoomorphismen, die ( 1 ) oder i) und ii), ( 2 ) langs eines Richtungsfeldes genugen. ~~ 2) Siehe [5] S. 133, [6] S. 217, [Y] S. 428, Definition 2, (ii) und (iii).
3 ) Eiri Punkt, in dem ein Homoomorphismus differen7ierbar und seine Funktionaldeterminante von Null verschieden i s t , heifit ein A-Punkt, (Affinitbtspunkt) 1111 S. 16. 4, Das MaB und die Integrale sind in der drbeit im Sinne von LEBESGUE genommen. j) Siehe [6] S. 223, [9] S. 268,272,273; in [a] S. 123 a i d ein solchrr Homoomorphismus lokal absolut stetig gcnannt.